ângulos e arcos

Considere uma circunferência de centro na origem do plano cartesiano e raio unitário. Dois móveis passam simultaneamente pelo ponto (1;0) dessa circunferência, no instante t=0 e no mesmo sentido, com velocidades constantes iguais a pi/12 rad/s e pi/18 rad/s. O ângulo central agudo do arco cujos extremos são as posições dos móveis no instante t=20s é:
a) 60 graus
b) 45 graus
c) 40 graus
d) 30 graus
e) 24 graus 

Gabarito: c

Primeiramente, anotemos os dados presentes na pergunta:

Circunferência de centro na origem, raio unitário ---->[latex]x^{2} + y^{2} = 1[/latex];

Dois móveis posicionados no ponto (1, 0) pertecente a circuferência no tempo t = 0;

Móveis de velocidades constantes ([latex]\alpha _{t} = 0[/latex]) com [latex]V_{1} = \frac{\pi}{12}\; rad/s[/latex], e [latex]V_{2} = \frac{\pi}{18}\; rad/s[/latex];

Pergunta pelo ângulo central agudo no instante [latex]t_{f} = 20\;s[/latex].


Segundamente, tratemos de selecionar as fórmulas físicas e teoremas matemáticos que usaremos na resolução:

- Como se trata de um Movimento Circular Uniforme (MCU):

[latex]\varphi = \varphi _{0} + \omega t[/latex].

- A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer, será sempre 180°.

Agora, para a resolução:


Usando a fórmula do movimento circular uniforme, calculemos as devidas posições finais do móvel:


Móvel 1 terá posição final [latex]\varphi_{1} = \frac{5\pi}{3}[/latex], que é equivalente a 300°;


Móvel 2 terá posição final [latex]\varphi_{2} = \frac{10\pi}{9}[/latex], que é equivalente a 200°.


Nota: Valores obtidos com base na substituição direta na fórmula falada.


Fazendo-se uma análise visual geométrica em um plano cartesiano (ente a qual não consiguirei mostrar agora), conclui-se que o angulo central desejado é a subtração dos outros 2:


300° - 200° = 100°.


100° > 90°, portanto, não é agudo (como a questão deseja). Mas, podemos criar um triângulo apartir dos 3 pontos dados: Os das posições finais, e o da origem. Como a distância das posições ao centro são iguais, trata-se então de um triângulo isóceles. Portanto, apartir do teorema falado acima, pode-se chegar a seguinte equação:


100° + θ + θ = 180°
100° + 2θ = 180°
2θ = 180° - 100°
2θ = 80°


θ = 40°


Obs: Essa questão pode ser também resolvida, calculando as equações da reta dos pontos de chegada dos móveis com o centro, e calculando-se depois, o ângulo entre duas retas.


Muito Obrigado!