circunferência com 3 segmentos

por **Medeiros** Sáb 04 Jul 2020, 21:14

devido ao Covid-19, segue meu incentivo pra juventude ficar em casa, respeitando o afastamento social, e não ir pra balada de sábado à noite.

Na figura abaixo, onde a é uma corda do círculo e os ângulos são retos, qual a medida do raio em função de a, b e c?

a resposta é literal mas para não dizer que não tem gabarito, se
a=5, b=6 e c=3 -----> r = 5√5/2

por **Vitor Ahcor** Dom 05 Jul 2020, 07:33

Medeiros escreveu:devido ao Covid-19, segue meu incentivo pra juventude ficar em casa, respeitando o afastamento social, e não ir pra balada de sábado à noite.

Não vejo motivação melhor do que essa, Medeiros, para ficarem em casa kkkk ...

Fiz uma solução por trigonometria:

De ∠ABD = 90°, AD passa pelo circuncentro de BCD. Além disso, ∠BAD enxerga o mesmo arco que ∠CBD+∠CDB, daí ∠BAD=∠CBD+∠CDB = α + θ. Então, pelo ∆ABD: tg(α+θ) = (b+d)/a (i)

Dos triângulos menores tg(α) = c/b e tg(θ) = c/d (ii)

De (i) e (ii):

(b+d)/a = (c/b+c/d)/(1-c²/bd)
⇒ (b+d)/a =c(b+d)/(bd-c²)
⇒ d = c(a+c)/b = 3*8/6
⇒ d = 4

Por Pitágoras em ABD:

AD² = AB² + BD²
⇒AD² = a² + (b+d)² = 5² + 10²
⇒AD = 5√5
⇒2R = 5√5 .: R = 5√5/2.

por **Elcioschin** Dom 05 Jul 2020, 10:42

Muito bom Vitor!

por **Medeiros** Dom 05 Jul 2020, 13:02

Obrigado pela resposta e parabéns, Vitor. Foi muito sagaz em considerar o arco duplo.

Fico aguardando sua resposta literal -- "em função de a, b e c", conf. enunciado; os números foram fornecidos apenas para que pudessem conferir a resposta obtida.

Também vou esperar por mais soluções; depois, se ninguém o fizer antes, posto uma apenas por geom. plana.

por **Vitor Ahcor** Dom 05 Jul 2020, 14:55

Medeiros escreveu:Fico aguardando sua resposta literal -- "em função de a, b e c", conf. enunciado; os números foram fornecidos apenas para que pudessem conferir a resposta obtida.

Eita, é verdade, não li essa parte. Vou deixar uma outra solução por geometria plana:

Como o arco AD é 180°, então AC e CD são perpendiculares, daí ∠EAB=∠ECF=∠FDC .: ∆ABE~∆ECD~∆CFE

.: (b-m)/a = m/c = c/n = b/(a+c) .: n = c*(a+c)/b

Pitágoras em ABD

4R² = a² + (b+n)² = a² + (b + c*(a+c)/b)²
⇒4R² = [a²b² + ((b²+c²)+ac)²]²/b²
⇒4R² = [a²b² + (b²+c²)²+ a²c² +2ac*(b²+c²) ]/b²
⇒4R² = [a²(b²+c²) + (b²+c²)² +2ac*(b²+c²) ]/b²
⇒4R² = (b²+c²)*(a²+b²+c²+2ac) /b²
⇒4R² = (b²+c²)*[(a+c)²+b²)]/b²
⇒2R = √{(b²+c²)*[(a+c)²+b²)}/b
.: R = √{(b²+c²)*[(a+c)²+b²]}/2b.

por **Medeiros** Dom 05 Jul 2020, 15:10

perfeito, companheiro! É isso aí.
E muito boa a solução por semelhança de triângulos.

por **Baltuilhe** Dom 05 Jul 2020, 15:26

Boa tarde!

Pensei de forma diferente:
[latex]x^2=b^2+c^2[latex]
[latex]y^2=b^2+(a+c)^2[latex]

A área do triângulo hachurado:
[latex]A=\dfrac{axy}{4R}=\dfrac{ab}{2}[latex]

Fazendo a simplificação e as substituições, teremos:
[latex]\dfrac{xy}{2R}=b[latex]
[latex]R=\dfrac{xy}{2b}=\dfrac{\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{b^2+(a+c)^2}}{2b}[latex]

Smile

por **Medeiros** Dom 05 Jul 2020, 15:38

Boa tarde, Baltuilhe!
Que excelente colaboração!
Quase que comento com o Vitor se ele notou que o raio é o produto de duas hipotenusas sobre o dobro do mesmo cateto. Mas essa solução que você trouxe eu não imaginei; achei-a ótima, simples, poucas contas, melhor que a que tenho.
Muito obrigado. Eu adoro pensamentos diferentes.

por **Baltuilhe** Dom 05 Jul 2020, 23:41

Medeiros escreveu:Boa tarde, Baltuilhe!
Que excelente colaboração!
Quase que comento com o Vitor se ele notou que o raio é o produto de duas hipotenusas sobre o dobro do mesmo cateto. Mas essa solução que você trouxe eu não imaginei; achei-a ótima, simples, poucas contas, melhor que a que tenho.
Muito obrigado. Eu adoro pensamentos diferentes.

Opa! Obrigado, Medeiros! Gostei muito da solução do Vitor, também! Smile

E estamos aguardando o seu 'gabarito' Smile

Amplexos!

por **Medeiros** Seg 06 Jul 2020, 02:24

Eu também gostei muito das soluções do Vitor -- e foram duas, ambas criativas, numa considerando o arco duplo e noutra com uma ginástica para encontrar triângulos semelhantes.

Mas notei que vc desenhou no Acad com as medidas verdadeiras do exemplo que deixei. Foi para confirmar?

Agora estou com preguiça, amanhã posto uma solução que vi.