Binômio de Newton - demonstração

(MAPOFEI-76) Escreva n parcelas contendo o desenvolvimento de (k+1)^3 para k = 1,2,3 ... n-1, n. Some todas as parcelas, elimine os termos semelhantes e obtenha 1^2 + 2^2 + 3^2 ... +n^2


Eu tenho dificuldades seríssimas com demonstração indutiva, então não tenho uma parcela da resolução para apresentar. Todas as quais desenvolvi distam muito do resultado preterido

Boa tarde!

Começando por:
[latex](k+1)^3=k^3+3.k^2.1+3.k.1^2+1^3[latex]
[latex]S_n=1+2+3+\cdots+n-1+n=\dfrac{(1+n)n}{2}[latex]
[latex]Q_n=1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2[latex]

Agora, substituir por [latex]k=1,2,3,\ldots,n-1,n1[latex], teremos:
[latex]\mathbf{+}\begin{cases}\begin{array}{ccccccccc}(1+1)^3&=&1^3&+&3.\mathbf{\color{red}1^2\color{black}}.1&+&3.\mathbf{\color{blue}1\color{black}}.1^2&+&1^3
(2+1)^3&=&2^3&+&3.\mathbf{\color{red}2^2\color{black}}.1&+&3.\mathbf{\color{blue}2\color{black}}.1^2&+&1^3
(3+1)^3&=&3^3&+&3.\mathbf{\color{red}3^2\color{black}}.1&+&3.\mathbf{\color{blue}3\color{black}}.1^2&+&1^3
\vdots
(n+1)^3&=&n^3&+&3.\mathbf{\color{red}n^2\color{black}}.1&+&3.\mathbf{\color{blue}n\color{black}}.1^2&+&1^3
\end{array}
\end{cases}
\begin{array}{cccccccccc}
\cline{2-10}
&(n+1)^3&=&1^3&+&3.\mathbf{\color{red}Q_n\color{black}}.1&+&3.\mathbf{\color{blue}S_n\color{black}}.1&+&n
\end{array}
(n+1)^3-n-1-3S_n=3Q_n
3Q_n=(n+1)^3-(n+1)-3\dfrac{(n+1)n}{2}
3Q_n=(n+1)\cdot\left[(n+1)^2-1-\dfrac{3n}{2}\right]
3Q_n=(n+1)\cdot\left(n^2+2n+1-1-\dfrac{3n}{2}\right)
3Q_n=(n+1)\cdot\left(\dfrac{2n^2+4n-3n}{2}\right)
3Q_n=n(n+1)\cdot\left(\dfrac{2n+1}{2}\right)
Q_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
[latex]

Espero ter ajudado!

Obrigado pelo auxílio, Baltuilhe, mas não consegui identificar em qual etapa da resolução é obtida a sequência: 1^2 + 2^2 + 3^2 .. + n^2.

TristezaFria escreveu:Obrigado pelo auxílio, Baltuilhe, mas não consegui identificar em qual etapa da resolução é obtida a sequência: 1^2 + 2^2 + 3^2 .. + n^2.

Boa tarde!

Eu 'editei' com cores a dedução. Onde está em 'vermelho' é o somatório [latex]Q_n[latex], que é o [latex]1^2+2^2+\cdots+n^2[latex].
Já em 'azul' deixei o somatório [latex]1+2+3+\cdots+n[latex], chamando de [latex]S_n[latex].

Espero ter ajudado!