Sobre a demonstração do Binômio de Newton

Eu estava lendo uma demonstração do Teorema do Binômio de Newton quando me deparei com o seguinte desenvolvimento algébrico:



Gostaria que me explicassem, detalhadamente, como eu posso chegar nisso.

a.a² = a³

a(a+a²) = a² + a³

Sim, mas é que eu achei na internet o seguinte desenvolvimento e não consegui entendê-lo:




Poderia me explicar detalhadamente?


Desculpe-me por não ter formulado a pergunta direito antes.

Parceiro JOAO [ITA] ,

Tem gente que gosta do "Pra que simplificar se podemos complicar ?" ...

Eu não sou dessa "tchurma".

Sempre que explicamos, mostramos ou demonstramos alguma coisa e essa coisa não é logo bem compreendida pela a grande maioria, para mim, indica que ainda não o estamos fazendo da melhor maneira possível.

Entretanto, jamais podemos ter receio, espanto ou preguiça de enfrentarmos as situações ou problemas, por mais "cabeludos" que estes pareçam. Isso é fundamental para evoluirmos e triunfarmos.

"Isso" que você está estudando deve ser a "Demonstração por Indução Finita" ("Indução
Matemática" ou "Indução Plena" ou "Raciocínio por Recorrência") da expressão ou identidade do "Binômio de Newton".

Particularmente, considero o PIOR método :evil: para tal.

Mas...

Vamos Lá !

Um excelente método para descomplicarmos o que querem complicar é, quando possível — e quase sempre o é — exemplificarmos com miniaturas, pequenos modelos do que parece ser "grandão".

Pode ser chamado de "Método Jack, o Estripador", "Dividir Para Conquistar", "É Pequeno Que Eu Gosto", "Sai Pra Lá Coisa Grande", "Viva o Japão !!!", ou, simplesmente, ser visto como um humilde reconhecimento do pequeno "tamanho" de nosso "buffer", nossa limitada "memória cache", nossa memória imediata, que não é lá grandes coisas.

Essas linhas seguintes são identidades:

1: (x+y)² ≡ x² + 2xy + y²

2: (x+y)³ ≡ x³ + 3x²y + 3xy² + y³

3: a³ ≡ a.a.a

4: a.a.a ≡ a².a ≡ a.a²

5: a(b+c) ≡ ab + ac

6: (x+y)(X+Y) ≡ xX + xY + yX + yY

Você já as conhece bem, né ?

Talvez até tenha achado um pouco estranha a forma da última, mas a reconhece...

Continuando...

Vamos inventar uma "coisa" que age sobre duas coisas: B(n)

Vamos definí-la recursivamente, assim:

B(0) = 1

B(1) = x + y

B(2) = B(1).(x+y)

B(3) = B(2).(x+y)

...

B(n) = B(n-1).(x+y)

Isso é uma forma "complicada" de definirmos "potência" de (x+y), né ?

Podemos "ver", "percerber" ou, em último caso, algebrizarmos. O resultado será:

B(n) = (x+y)ⁿ

E, se necessário for, simplificarmos mais ainda para o nosso limitado "buffer", fazendo:

(x+y) ≡ z

Independentemente de qualquer coisa, é bem mais razoável escrevermos:

B(n) = zⁿ

Do que:

B(n) = z.z.z.z.z.z... z <----------- ( "n" vezes)

Então, (zⁿ) é uma excelente notação ! Reduzidíssima e compreensível por todos !

Às vezes uma notação nos faz economizar espaçotempo, mas, infelizmente nos tira a "visão" da coisa.

Como tudo na vida, tem seus "prós" e seus "contras" ...

Continuando...

Sejam:

C(n; k) ≡ n!/( k!(n-k)! )

Σ[0; n](x_k) ≡ x₀ + x₁ + x₂ + ... x_n

(x+y)ⁿ ≡ Σ[n]( C(n; k) x^n-k y^k )

Vamos, para simplificar, trabalhar com (n = 2) e (n+1 = 3) :face: .

Então, dado que:

(x+y)² = Σ[0; 2]( C(2; k)x^2-k y^k ) = C(2; 0) x^2-0 y⁰ + C(2; 1) x^2-1 y¹ + C(2; 2)x^2-2 y² = x² + 2xy + y²

Vamos mostrar que é verdadeiro para:

(x+y)³

Isto é:

(x+y)²⁺¹ = Σ[0; 2+1]( C(2+1; k) x^2+1-k y^k )

Continuando...

(x+y)³ = x(x+y)² + y(x+y)²

(x+y)³ = x Σ[0; 2]( C(2; k) x^2-k y^k ) + y Σ[0; 2]( C(2; k) x^2-ky^k )

Vamos dar uma olhada no somatório, é pequenininho...

(x+y)³ = x(x² + 2xy + y²) + y(x² + 2xy + y²)

(x+y)³ = x.x² + x( 2xy + y²) + y.y² +y(x² + 2xy)

(x+y)³ = x³ + x( 2xy + y²) + y(x² + 2xy) + y³

Reparando no 2º e o 3º termo, podemos escrevê-los na notação de somatório, bastando adequar os limites dos índices:

(x+y)³ = x³ + xΣ[1; 2]( C(2;k)x^2-iyⁱ ) + yΣ[0; 2-1]( C(2;k)x^2-iyⁱ ) + y³

Como nós temos dois somatórios com diferentes limites para os índices, vamos tentar colocá-los sob os mesmos limites de índices, para virar uma mesma "coisa"...

Vamos recordar o "Triângulo de Pascal" ou, simplesmente, as "Relações de Stifel" para combinações (coeficientes binomiais, números binomiais...):

1) Princípio Formador do Triângulo de Pascal

C(n; k) = C(n-1; k-1)+ C(n-1; k)

Por exemplo : C(3; 1) = C(2; 0) + C(2; 1)

Linha 2: 1 2 1

Linha 3: 1 3 3 1

2) Simetria no Triângulo de Pascal

C(n; k) = C(n; n-k)

Por exemplo:

Linha 4: 1 4 6 4 1

C(4; 1) = C(4; 3) ...

Linha 5: 1 5 10 10 5 1

C(5; 2) = C(5; 3) ...

Vamos fazer ambos somatórios terem os limites do 1º deles, [1; n], e mexer nos coeficientes binomiais e nos expoentes para ficar certinho, o que era (k) vai virar (k-1):

(x+y)³ = x³ + x Σ[1; 2]( C(2; k) x^2-k y^k ) + y Σ[1; 2]( C(2; k-1)x^2-k+1y^k-1 ) + y³

Vamos "distribuir" o (x) e o (y) pelo somatório, passá-los "pra dentro", isto é, nos fatores (xy), os expoentes vão ser adicionados de (1), respectivamente:

(x+y)³ = x³ + Σ[1; 2]( C(2; k) x^2-k+1 y^k ) + Σ[1; 2]( C(2; k-1)x^2-k+1y^k ) + y³

Agora temos uma coisa comum e podemos evidenciá-la:

(x+y)³ = x³ + Σ[1; 2]( x^2-k+1 y^k ( C(2; k) + C(2; k-1) ) ) + y³

Em vermelho a relação fundamental do Triângulo de Pascal, né ?

(x+y)³ = x³ + Σ[1; 2]( x^2-k+1 y^k C(2+1; k) ) + y³

Agora é so colocar todo mundo dentro da somatória, ajustando os limites dos índices, obviamente, e dar uma arrumada pra ficar igualzinho a nossa tese:

(x+y)²⁺¹ = Σ[0; 2]( C(2+1; k) x^2+1-k y^k )

Agora mude:

(2) para (n) e (2+1) para (n+1) :face: :

(x+y)ⁿ⁺¹ = Σ[0; n]( C(n+1; k) x^n+1-k y^k ) ■

Ufa !

Chega !

Muito chato isso !

Saudações cansadas e arrependidas !

E Vamos Lá !

Muito obrigado!

''Viva o Japão''

AHOIAUHAIHUAHIUAHIAUHAIOUHAOIUHAOIHAOIUHAOIUHAIAHIUAHIUAHAUIHAOIUHAIHAOIUAHAHOAHAIHAIAHAIUH

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

:tuv: :hfy: :tuv:

brincadeirinha...