|Números Complexos + Binômio de Newton| - Demonstração

Na apostila do Super ITA/IME 2023 do FB Online, há uma parte na matéria de Números Complexos em que há o passo a passo para a dedução de uma fórmula geral para a tangente de n.α, em que α é um ângulo qualquer e n é um número inteiro positivo e diferente de zero. No entanto, logo no início da demonstração, há uma parte que não consigo compreender a manipulação matemática que o professor fez para chegar ao resultado. Ele apresenta o seguinte: 

Apostila escreveu:Substituindo x = ±­ i no desenvolvimento do Binômio de Newton. Temos: 

[latex]\\ \Rightarrow Para \: x=i \\\\(1+i)^n=\binom{n}{0}i^0+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+...=\left ( \sqrt{2}\cdot e^{i.\left ( \frac{\pi }{4} \right )} \right )^n\\\\\\ \Rightarrow Para \: x=-i\\\\(1-i)^n=\binom{n}{0}i^0-\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2-\binom{n}{3}i^3+...=\left ( \sqrt{2}\cdot e^{i.\left ( -\frac{\pi }{4} \right )} \right )^n[/latex]

O que não consigo abstrair é como ele conseguiu sair desses números binomiais para a representação do complexo a partir do número de Euler. Se alguém conseguir esclarecer melhor pra mim o desenvolvimento disso, me ajudaria demais!!!

Um possível caminho para explicar:

1 + i = √2.[√2/2 + i.√2/2] = √2.[cos(pi/4) + i.sen(pi/4)]

(1 + i)ⁿ = {√2.]cos(pi/4) + i.sen(pi/4)]}ⁿ = {√2.e^i.(pi/4)}ⁿ 

Obs.: Na última linha o colchete logo após {√2. saiu invertido e não consegui corrigir.

Tente completar

Elcioschin escreveu:Um possível caminho para explicar:

1 + i = √2.[√2/2 + i.√2/2] = √2.[cos(pi/4) + i.sen(pi/4)]

(1 + i)ⁿ = {√2.]cos(pi/4) + i.sen(pi/4)]}ⁿ = {√2.e^i.(pi/4)}ⁿ 

Tente completar

Ahh, agora entendi! Ele usou, no caso, a ideia do (1 + i)ⁿ para chegar a essa forma uusando a fórmula de Euler. Agora, sim, dá pra continuar a estudar a demonstração. Caso surja mais alguma dúvida, volto aqui!

Muito obrigado, Mestre!