POTI - ponto médio

São dois problemas com os quais já estou faz muito tempo, mas não consigo chegar em muita coisa.

10)(MOSCOU) Seja ABCD um quadrilátero convexo e O um ponto em seu interior tal que AÔB = CÔD = 120°, AO = OB, CO = OD. Sejam K, L, M os pontos médios de AB, BC, CD respectivamente, prove que KLM(triângulo) é equilátero.

Aqui só consegui provar que KL = ML, uma vez que as diagonais são iguais.

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A figura só pode ser esta:

Elcio, mas por que só pode ser essa figura?

pode ser um quadrilátero qualquer, Renan. O Élcio apenas escolheu um para chegar mais fácil na resposta.

• Seja ABCD um quadrilátero convexo e O um ponto em seu interior tal que AÔB = CÔD = 120°, AO = OB, CO = OD. Sejam K, L, M os pontos médios de AB, BC, CD respectivamente, prove que KLM(triângulo) é equilátero.
  

vejo agora que, no desenho, escrevi ponto P ao invés de O.

PA = PB = a (em verde)
PC = PD = b (em laranja)
traçamos as diagonais AC e BD; e seja o ângulo A^PD = θ



os ângulos A^PC = B^PD = 120°+θ ; então os triângulos APC e BPD são congruentes pelo caso L.A.L. e portanto as duas diagonais são iguais  ----->  AC = BD = d.

Os pontos K, L e M são médios dos respectivos lados; assim no triâng. ABC, KL = d/2, e no triâng BCD, LM = d/2. Portanto
KL = LM = d/2

Até agora apenas provamos que o triângulo KLM é isósceles de base KM.

Tracemos os segmentos PK e PM. Eles são altura e bissetriz nos respectivos triângulos isósceles ABP e CPD, pois K e M são pontos médios das bases, e portanto dividem o ângulo de 120° em dois de 60°.



no triâng. APK  ----->  PK = a.cos60°  ------>  PK = a/2
no triâng. DPM ----->  PM = b.cos60°  ----->  PM = b/2
o ângulo K^PM = 60° + θ + 60°  ----->  K^PM = 120°+θ
portanto o triângulos KPM é semelhante aos triâng.s APC e BPD, pois tem dois lados proporcionais e o ângulo entre eles igual. A razão de proporcionalidade é 1/2 -- porque PK = a/2 e PM = b/2 --, então já podemos concluir que KM = d/2. Apesar disto, fazendo contas:

∆KPM ~ ∆APC  ----->  KM/AC = KP/AB  ----->  KM/d = (a/2)/a  ----->  KM = d/2

.:.  KL = LM = KM = d/2  ----->  ∆KLM é equilátero

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apenas como uma curiosidade:
-- os ângulos formados pelas diagonais (d) são os mesmos do losango formado pelos pontos médios deste quadrilátero.
-- o menor ângulo das diagonais d é 60°.
-- a área do losango inscrito é metade da do quadrilátero.
-- a área do quadrilátero em função das diagonais é S = (1/2).d².sen60° = d².√3/4.

Muito obrigado, Medeiros! Sério, que incrível essa solução! Você não tem ideia do quão grato sou...