limites e continuidades à duas variáveis

por Omagodasexatas3,14 Ter 16 Jun 2020, 16:04

Considere a seguinte função: $limites e continuidades à duas variáveis Gif$ e $limites e continuidades à duas variáveis Gif$
a-) A função f é contínua na origem? Justifique.
b-) A função f é diferenciável na origem? Justifique.

OBS: Não tenho a resposta. Estou com dificuldades para resolver. Como faço para justificar se é contínua e se é diferenciável ?

por **mauk03** Seg 22 Jun 2020, 18:26

a)
Fazendo r²=x²+y², tem-se que se (x,y)→(0,0), então r→0. Assim:
$gif.latex?\lim_{(x,y)\rightarrow&space;(0,0)}\frac{\sin&space;(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=\lim_{r\rightarrow&space;0}\frac{\sin&space;r^2}{r^2}=1$

Como $gif.latex?\lim_{(x,y)\rightarrow&space;(0,0)}f(x,y)=1=f(0,0)$ , então f é continua na origem.

b)
Para f ser diferenciável na origem, suas derivadas parciais devem ser continuas na origem.

Tem-se que ambas as derivas parciais são iguais a zero na origem. Testando na fronteira:

Em relação a x:
$gif.latex?\lim_{(x,y)\rightarrow&space;(0,0)}\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}=\lim_{(x,y)\rightarrow&space;(0,0)}\frac{2x((x^2+y^2)\cos(x^2+y^2)-\sin(x^2+y^2))}{(x^2+y^2)^2}$

Fazendo x=r*cos(t) e y=r*sin(t):
$gif.latex?\lim_{(x,y)\rightarrow&space;(0,0)}\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}=\lim_{r\rightarrow&space;0}\frac{2r\cos&space;t(r^2\cos&space;r^2-\sin&space;r^2)}{r^4}=0$

Em relação a y:
$gif.latex?\lim_{(x,y)\rightarrow&space;(0,0)}\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}=\lim_{(x,y)\rightarrow&space;(0,0)}\frac{2y((x^2+y^2)\cos(x^2+y^2)-\sin(x^2+y^2))}{(x^2+y^2)^2}$

Fazendo x=r*cos(t) e y=r*sin(t):
$gif.latex?\lim_{(x,y)\rightarrow&space;(0,0)}\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}=\lim_{r\rightarrow&space;0}\frac{2r\sin&space;t(r^2\cos&space;r^2-\sin&space;r^2)}{r^4}=0$

Como $gif.latex?\lim_{(x,y)\rightarrow&space;(0,0)}\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}=0=\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}_{(x,y)=(0,0)}$ e $gif.latex?\lim_{(x,y)\rightarrow&space;(0,0)}\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}=0=\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}_{(x,y)=(0,0)}$ , então f é diferenciável na origem.

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