Sistema de logaritmos

por **abelardo** Seg 29 Ago 2011, 01:07

Seja o sistema abaixo, em que x,z e k são números positivos:

$\left\{\begin{matrix} 3^{x+y}=81\\ \log \ x+\log \ y= \log \ k \end{matrix}\right.$

Para que ele tenha solução única, deve-se ter:

a) $\ k \in [1,2]$

b) $\ k \in [5,7]$

c) $\ k \in [2,5]$

d) $\ k \in [1,3]$

e) $\ k \in [5,8]$

Sabe-se que $x+y=4$ .

$\ log \ x +\ log \ y= \ log \ (xy)= \log \ k$ (Como a função logarítmica é injetiva, então xy = k )

$\left\{\begin{matrix} x+y=4\\ x \cdot y=k \end{matrix}\right.$

$y=4-x$

$x\cdot (4-x)=k$

Temos uma função do 2º grau, com domínio de ]0,4[. A imagem, que são os possíveis valores de k, é ]0,4[. Não bate com o gabarito.

Fiz também, com a equação x+y=4, um gráfico. Lembrando que x>0, y>0 e k>0, então escolhi alguns pontos e multipliquei x por y, sempre nessa ordem. Dá para visualizar também que k pode assumir valores entre 0 e 4.

Sistema de logaritmos Imagemihv

por **abelardo** Qua 31 Ago 2011, 11:22

por **abelardo** Qua 31 Ago 2011, 11:33

$\dpi{120} \ log \ x+\ log \ y= \ log \ k$ (Como x > 0 e y > 0, logo x*y > 0)

$\dpi{120} \ log \ xy= \ log \ k$

$\dpi{120} xy= \ k$

Como $\dpi{120} x+y=4$ --> $\dpi{120} x=4-y$

$\dpi{120} y(4-y)=k$

$\dpi{120} -y^2+4y=k$ ---> $\dpi{120} k>0$

$\dpi{120} -y^2+4y>0$

$\dpi{120} S=\left \{x\in \mathbb{R}\ / \ 0<y<4 \right \}$

por **hygorvv** Qua 31 Ago 2011, 12:02

x+y=4
x.y=k

y=k/x
x+(k/x)=4
x²-4x+k=0
Δ=0 (uma solução)
16-4k=0
k=4
somente o intervalo da alternativa 'c' confere.

espero que seja isso e que te ajude.