Diferentes entropias - Ajuda com Pericia Criminal

Boa noite a todos, não sou muito ativo no forum mas preciso de uma ajuda dos colegas com a seguinte questão:
1) Um mol do gás ideal de nitrogênio, inicialmente a uma temperatura de 250 K, quadruplica seu volume por meio de dois processos
termodinâmicos diferentes, que podem ser identificados como processos A e B. No processo A, o gás expande-se livremente até
dobrar o volume e depois sofre uma expansão adiabática até dobrar novamente seu volume. Já no processo B, o gás sofre uma expansão
isotérmica até quadruplicar seu volume. Com base nessas informações, é correto afirmar que a diferença entre a variação de entropia do processo B e a do processo A, expressa em função da constante universal dos gases R, é:

A) 2R.
B) -ln(2R).
C) 2Rln(2).
D) Rln(2).
E) -2Rln(2).

Desde já agradeço, encontrei uma resolução em um site de concursos mas muuito mal detalhada. muito mesmo:

i) primeira transformação

Obs: Na expansão livre tem-se que o gás expande no vácuo, logo não a troca de calor com o meio(Q_abs=0). Portanto, pode-se considerar com uma expansão adiabática.

Pela formula de ∆S,

[latex]dS=\frac{dQ}{T}=0\Rightarrow \Delta S_{1}=0[/latex]

ii) segunda transformação

[latex]dS=\frac{dQ}{T}=\frac{dU+dW}{T}[/latex]

Como na transformação isotérmica temos ∆U=0

[latex]dS=\frac{dW}{T}=\frac{P\cdot dV}{T}=\frac{n\cdot R\cdot dV}{V}\Rightarrow \Delta S_{2}=n\cdot R\cdot \ln \left ( \frac{v_{2}}{v_{3}} \right )[/latex]

iii) por fim,

[latex]\Delta S=\Delta S_{1} + \Delta S_{2} = n\cdot R\cdot \ln \left ( \frac{v_{2}}{v_{3}} \right )=1\cdot R\cdot \ln \left ( \frac{2\cdot v_{3}}{v_{3}} \right )=R\cdot \ln (2)[/latex]


Letra D)