Probabilidade ENEM

José e Antônio marcam um encontro numa rodoviária entre meio-dia e uma hora da tarde. O combinado é que um espere pelo outro por no máximo 30 minutos. Quais as chances de José e Antônio viajarem juntos? Observação: José e Antônio escolhem seus horários de chegada de forma aleatória, uniforme e independente um do outro.

(a) 0%. 
(b) 25%. 
(c) 50%. 
(d) 75%. ( gabarito )
(e) 100%.

Existe um meio de resolver sem que seja a análise gráfica? Obrigado pela ajuda...

Mateus Meireles escreveu:Olá, Tiago.

Nunca vi. Inclusive penso que esse problema foi feito para ser resolvido por probabilidade geométrica.

Já respondi esse problema aqui no fórum, mas não consigo mais encontrar o tópico..

Vou deixar uma resolução em inglês que usa a mesma ideia.

https://www.cut-the-knot.org/Probability/GeometricProbabilities.shtml


Abs.

Obrigado amigo, é que por ser uma questão de enem ( geralmente o enem é basicamente um cálculo só, questões muito fáceis ) eu achei que tivesse uma solução mais imediata

Eu tentei resolver, porém preciso da opinião de vocês sobre minha solução.

Peço perdão antecipadamente se parecer confuso, darei meu melhor.

Bom, quantas opções teriam José e Antônio de escolher seus horários? José possui 61 horários compreendidos entre 12:00 e 13:00 para escolher, Antônio idem. Portanto o total de combinações possíveis de horários entre os dois é de 61x61 = 3721.

Agora vem a parte interessante. Vamos supor que José chegue 12:00. Neste caso, o horário máximo permitido para que Antônio apareça é 12:30. Mantendo fixo o horário de José, haveriam 31 horários possíveis para que o critério seja obedecido. Se José está fixado e chega 12:00, Antônio também pode chegar no mesmo horário (12:00) e portanto temos uma das possibilidades. Assim como Antônio pode chegar 12:01 ; 12:02 ; 12:03 e assim por diante. Daí surgem os 31 horários que mencionei.

Continuando... fixando José desta vez em 12:01, o horário máximo de Antônio seria 12:31. Adivinhe só, assim como anteriormente, manteriam-se os 31 horários possíveis para o critério ser obedecido. E isso vai se repetir quando o horário de José for fixado em 12:03 e o horário máximo de Antônio for até 12:33. Isso precisa ser considerado até o horário de José ser fixado em 12:30, obrigando o horário limite de Antônio ser até 13:00. Se fixamos José de 12:00 até 12:30, temos 31 horários aqui. Por isso multiplicamos estes 31 pelos 31 de cada bloco (12:00 até 12:30, 12:01 até 12:31, assim por diante).

31x31=961 horários em que eles poderiam se encontrar obedecendo aos critérios. Porém é preciso multiplicar por 2, pois estamos falando apenas ao fixar José. Poderia ser o contrário, fixando Antônio.

Portanto, 961x2=1922 horários.

Continuando... precisamos das outras possibilidades válidas. E se José chegar 12:31? O horário limite para que Antônio chegue sempre será 13:00. Entre esses horários existem 30 horários disponíveis. Mas e se José chegar 12:32? O horário limite de Antônio não mudará, permanecerá sendo 13:00. Porém, agora, são 29 horários disponíveis. Seguindo esta lógica, teremos 28 horários no próximo passo. Temos um padrão. Quando José chegar 12:59, Antônio pode chegar 12:59 ou 13:00 para obedecer ao critério. Portanto 2 horários disponíveis. E por fim com ambos chegando 13:00 e saindo juntos (1 horário).

É preciso então somar todos os valores de 1 até 30, obtendo 465. Assim como antes, é preciso multiplicar por 2 pois poderíamos ter José e Antônio em situações opostas. 465x2=930 horários.

Concluindo, as partes que me interessam são 1922 + 930 = 2852 horários. Lá no começo declarei que o total é de 3721.

Logo, 2852/3721 ~ 0,76%

@Hyoga

Acredito que o problema fundamental é que você discretizou um problema contínuo. Como consequência desse caso, é falso que todos os eventos são equiprováveis

Por exemplo, se Antônio chegou às 12h00m00s, então ele ficará até 12h30m00s esperando. A probabilidade de que eles se encontrem às 12h30m00s não é igual a probabilidade deles se encontrarem às 12h29mXXs, pois ele fica em 12h30m00s por apenas um instante de tempo (não é nem um segundo!) enquanto fica em 12h29mXXs pelo minuto inteiro

@Daquisu

Faz sentido... então não sei como fazer. O link que o Mateus enviou parece interessante, mas meu inglês ainda é meio cru, então não consigo acompanhar totalmente. Aliás, deixando o rigor de lado (embora tenha cometido a falha que você apontou), serve como boa aproximação? Ou é totalmente descartável?

@Hyoga

Serve como aproximação. É difícil falar se é "boa" ou não porque vai depender da sua definição disso. Talvez uma aproximação boa pra você seja estimar o valor com um erro < 5%, mas para afirmar isso seria necessário uma prova matemática

Tem a solução gráfica em um portal da OBMEP, caso deseje ver

https://portaldosaber.obmep.org.br/uploads/material_teorico/dg4uquxvay8sg.pdf
Questão 5