Valor de p

por patrickdeamico Qui 30 Abr 2020, 16:59

Na figura adiante, AB e AC têm, ambos, medida p, sendo AB lado de um decágono regular inscrito em uma circunferência de raio 1 e centro O.

https://imgur.com/a/SAGVaG7

O valor de p é:

a. (√5-1)/2
b. (√5+1)/2
c. 1-√5/4
d. 1+√5/4
e. (√5+2)/2

por **Rory Gilmore** Qui 30 Abr 2020, 18:20

Seja AD = altura do triângulo ABC.

I) Teorema de Pitágoras no triângulo ADC:
p² = [(1 - p)/2]² + AD²
AD² = p² - (1 - p)²/4

II) Teorema de Pitágoras no triângulo ADO:
(1)² = AD² + {p + (1 - p)/2]}²
1 = AD² + {(2p + 1 - p)/2}²
1 = AD² + (p + 1)²/4

III) Substituindo (I) em (II):
1 = p² - (1 - p)²/4 + (p + 1)²/4
1 = p² - (1 - 2p + p²)/4 + (p² + 2p + 1)/4
4 = 4p² - 1 + 2p - p² + p² + 2p + 1
4 = 4p² + 4 p
4p² + 4p - 4 = 0
p² + p - 1 = 0

∆ = (1)² - 4.(1).(- 1)
∆ = 1 + 4
∆ = 5

p' = (√5 - 1)/2

p'' = (- 1 - √5)/2 NÃO SERVE PORQUE É UM NÚMERO NEGATIVO

Logo p = (√5 - 1)/2

por **Medeiros** Qui 30 Abr 2020, 21:38

Rory,

ligeira distração nas raízes p quanto ao coeficiente 'b' da eq quadrática.

por **Rory Gilmore** Qui 30 Abr 2020, 23:31

Arrumei. É bem a minha cara fazer tudo e errar na última linha numa prova kkk.

por patrickdeamico Sáb 02 maio 2020, 12:03

Rory Gilmore escreveu:Seja AD = altura do triângulo ABC.

I) Teorema de Pitágoras no triângulo ADC:
p² = [(1 - p)/2]² + AD²
AD² = p² - (1 - p)²/4

II) Teorema de Pitágoras no triângulo ADO:
(1)² = AD² + {p + (1 - p)/2]}²
1 = AD² + {(2p + 1 - p)/2}²
1 = AD² + (p + 1)²/4

III) Substituindo (I) em (II):
1 = p² - (1 - p)²/4 + (p + 1)²/4
1 = p² - (1 - 2p + p²)/4 + (p² + 2p + 1)/4
4 = 4p² - 1 + 2p - p² + p² + 2p + 1
4 = 4p² + 4 p
4p² + 4p - 4 = 0
p² + p - 1 = 0

∆ = (1)² - 4.(1).(- 1)
∆ = 1 + 4
∆ = 5

p' = (√5 - 1)/2

p'' = (- 1 - √5)/2 NÃO SERVE PORQUE É UM NÚMERO NEGATIVO

Logo p = (√5 - 1)/2

Rory, boa tarde,
Desculpe, eu não entendi porque em I) CD mede (1 - p)/2
Estou tentando entender essa parte mas eu realmente não consigo.

por **Rory Gilmore** Sáb 02 maio 2020, 12:29

I) O ângulo AÔB = 36º.
II) OA = OB = 1 (raio do arco AB), portanto AOB é isósceles de base AB, logo o ângulo OAB = OBA = 72º.
III) ABC é isósceles de base BC, assim o ângulo ABC = ACB = 72º, decorre disso que o ângulo BÂC = 36º. Decorre também que o ângulo OAC = 36º.
IV) De todas essas conclusões, podemos verificar que o triângulo ACO é isósceles de base AO, portanto AC = OC = p.
V) CB = OB - OC
CB = 1 - p
VI) AD é a altura do triângulo isósceles ABC, portanto CD = DB = CB/2
CD = DB = (1 - p)/2

por patrickdeamico Sáb 02 maio 2020, 14:34

Rory Gilmore escreveu:I) O ângulo AÔB = 36º.
II) OA = OB = 1 (raio do arco AB), portanto AOB é isósceles de base AB, logo o ângulo OAB = OBA = 72º.
III) ABC é isósceles de base BC, assim o ângulo ABC = ACB = 72º, decorre disso que o ângulo BÂC = 36º. Decorre também que o ângulo OAC = 36º.
IV) De todas essas conclusões, podemos verificar que o triângulo ACO é isósceles de base AO, portanto AC = OC = p.
V) CB = OB - OC
CB = 1 - p
VI) AD é a altura do triângulo isósceles ABC, portanto CD = DB = CB/2
CD = DB = (1 - p)/2

Agora eu entendi, muito obrigado. Valor de p 503132