Fatoração e produtos notáveis

por David lameira Qui 05 Mar 2020, 13:07

Simplificando a expressão
\frac{a^{4}}{(a-b).(a-c)} + \frac{b^{4}}{(b-a).(b-c)} + \frac{c^{4}}{(c-a).(c-b)} , obtemos:

Gab.: \frac{(a+b)^{2} + (a+c)^{2} + (b+c)^{2}}{2}

por **fantecele** Qui 05 Mar 2020, 15:27

$\\\frac{a^4}{(a-b).(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a).(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a).(c-b)}\\\frac{a^4}{(a-b).(a-c)}-\frac{b^4}{(a-b).(b-c)}+\frac{c^4}{(a-c).(b-c)}\\\frac{a^4.(b-c)}{(a-b).(a-c).(b-c)}-\frac{b^4.(a-c)}{(a-b).(b-c).(a-c)}+\frac{c^4.(a-b)}{(a-c).(b-c).(a-b)}\\\\\frac{a^4.b-a^4.c-b^4.a+b^4.c+c^4.a-c^4.b}{(a-b).(a-c).(b-c)}$

Vou mexer agora só com o numerador:

$\\a^4.b-a^4.c-b^4.a+b^4.c+c^4.a-c^4.b\\a^4.(b-c)-a.(b^4-c^4)+b.c.(b^3-c^3)\\a^4.(b-c)-a.(b^2+c^2).(b+c).(b-c)+b.c.(b-c).(b^2+bc+c^2)\\(b-c).(a^4-a.(b^2+c^2).(b+c)+b.c.(b^2+b.c+c^2))\\(b-c).({\color{Red} a^4}+{\color{Green} b^3.c}+{\color{Orange} b^2.c^2}+b.c^3-{\color{Green} a.b^3}-{\color{Orange} a.b^2.c}-a.c^2.b-{\color{Red} a.c^3})\\(b-c).({\color{Red} a.(a-c).(a^2+a.c+c^2)}-{\color{Green} b^3.(a-c)}-{\color{Orange} b^2.c.(a-c)}-b.c^2.(a-c))\\(a-c).(b-c).(a^3+a^2.c+a.c^2-b^3-b^2.c-b.c^2)\\(a-c).(b-c).((a-b).(a^2+a.b+b^2)+c.(a+b).(a-b)+c^2.(a-b))\\(a-b).(a-c).(b-c).(a^2+a.b+b^2+a.c+b.c+c^2)$

Voltando para a divisão, perceba que os coloridos ali são pra sinalizar quem formou os "pares" e em baixo mostra qual foi o resultado desse "par":

$\\\frac{a^4.b-a^4.c-b^4.a+b^4.c+c^4.a-c^4.b}{(a-b).(a-c).(b-c)}\\\frac{(a-b).(a-c).(b-c).(a^2+a.b+b^2+a.c+b.c+c^2)}{(a-b).(a-c).(b-c)}\\\\a^2+a.b+b^2+a.c+b.c+c^2\\\frac{2.a^2+2.a.b+2.b^2+2.a.c+2.b.c+2.c^2}{2}\\\frac{a^2+2.a.b+b^2+a^2+2.a.c+c^2+b^2+2.b.c+c^2}{2}\\\frac{(a+b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2}{2}$

Acabou ficando um pouco grande foi mais por que eu tentei deixar todas as passagens, para não ficar confuso.