Retas

por Paul_morphy Qui 30 Jan 2020, 12:54

Determine uma equação da reta s que passa pelo ponto (1,0,1), intercepta a reta r: x = y = z+1, formando um ângulo de 60°.

por **Giovana Martins** Dom 02 Fev 2020, 21:41

\mathrm{Seja}\ \vec{v}=(\alpha ,\beta ,\gamma )\ \mathrm{o\ vetor\ diretor\ da\ reta\ s\ e\ }N(1,0,1).

Na reta r, para x=0 tem-se (y,z)=(0,-1), logo, o ponto M(0,0,-1) pertence à reta r. Note que r Ո s ≠ Ø. Como r Ո s ≠ Ø, podemos inferir que r e s são coplanares.

\\\mathrm{Vetor\ diretor\ da\ reta\ r:}\\\\r:\left\{\begin{matrix}
y-z=1\to \vec{u}=(0,1,-1)\\
x-y=0\to \vec{w}=(1,-1,0)
\end{matrix}\right.\\\\\vec{u}\ \wedge\ \vec{w}=\begin{vmatrix}
\vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\
0 & 1 &-1 \\
1 & -1 &0
\end{vmatrix}\to \vec{u}\ \wedge\ \vec{w}=(-1,-1,-1)

\mathrm{Vetor}\ \vec{MN}:\ \vec{MN}=N-M=(1,0,2)

Note que os vetores MN, u ∧ w e v são coplanares, logo, o produto misto entre esses vetores é nulo.

\\\mathrm{Produto\ misto:\ }\\\\(\vec{u} \wedge \vec{w},\vec{v},\vec{MN})=0=\begin{vmatrix}
-1 &-1 &-1 \\
\alpha & \beta & \gamma \\
1 & 0 &2
\end{vmatrix}=2\alpha -\beta -\gamma \\\\\therefore \ \gamma =2\alpha -\beta \ \therefore \ \vec{v}=(\alpha ,\beta ,\gamma)=(\alpha ,\beta ,2\alpha -\beta )

Sabendo-se que o ângulo formado entre r e s vale 60°:

\\cos(60^{\circ})=\frac{|\vec{v}.(\vec{u}\wedge \vec{w})|}{|\vec{v}||\vec{u}\wedge \vec{w}|}=\frac{1}{2}\\\\\frac{|-3\alpha |}{\left [ \sqrt{\alpha ^2+\beta ^2+(2\alpha -\beta )^2} \right ]\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=\frac{|-3\alpha |}{\sqrt{3(5\alpha ^2+2\beta ^2-4\alpha \beta )}}\\\\ 7\alpha ^2+4\alpha \beta -2\beta ^2=0\to \beta =\left ( 1\pm \frac{3}{\sqrt{2}} \right )\alpha \\\\\therefore \ \vec{v}=\alpha \left (1,\left ( 1\pm \frac{3}{\sqrt{2}} \right ) ,2-\left ( 1\pm \frac{3}{\sqrt{2}} \right ) \right )\ \mathrm{(2\ possibilidades)}

Assim, duas das possíveis retas são:

\\\boxed {s:\ (x,y,z)=(1,0,1)+\lambda\alpha \left (1,\left ( 1\pm \frac{3}{\sqrt{2}} \right ) ,2-\left ( 1\pm \frac{3}{\sqrt{2}} \right ) \right ),\lambda ,\alpha \in \mathbb{R}}

Penso que seja isso caso eu não tenha errado nenhuma continha. Confira as contas. Sugiro que você vá fazendo alguns esboços para facilitar a visualização.

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