Inequação Modular

Gabarito incorreto.

\\|x+1|=\left\{\begin{matrix}
x+1,se\ x\geq -1\\
-x-1,se\ x<-1
\end{matrix}\right.\\\\x\geq -1\to 2x-3+x+1\geq 0\to x\geq \frac{2}{3}\\\\\therefore \ x\geq -1\ \cap\ x\geq \frac{2}{3}\to S_1=\left [ \frac{2}{3},+\infty \right [\\\\x<-1\to 2x-3-x-1\geq 0\to x\geq 4\\\\\therefore \ x<-1\ \cap\ x\geq 4\to S_2=\o \\\\S=S_1\cup S_2\to \boxed {S=\left [ \frac{2}{3},+\infty \right [}

Ah, sem problemas. Vamos refazer para ver como fica .

\\|x+1|=\left\{\begin{matrix}
x+1,se\ x\geq -1\\
-x-1,se\ x<-1
\end{matrix}\right.\\\\x\geq -1\to 2x-7+x+1\geq 0\to x\geq 2\\\\\therefore \ x\geq -1\ \cap\ x\geq 2\to S_1=\left [ 2,+\infty \right [\\\\x<-1\to 2x-7-x-1\geq 0\to x\geq 8\\\\\therefore \ x<-1\ \cap\ x\geq 8\to S_2=\o\\\\S=S_1\cup S_2\to \boxed {S= \left [ 2,+\infty \right [}

Intersecção:

Note que o resultado x ≥ 2 só ocorre na situação na qual x ≥ -1. Os resultados dependem entre si, por isso eu fiz a intersecção. O mesmo acontece com x ≥ 8, o qual só ocorre quando x < -1.

União:

Note que tanto S₁ quanto S₂ satisfazem a inequação sendo que ambos os resultados independem um do outro, por isso eu fiz a união.

Os quadros de sinais que eu conheço são utilizados em duas situações: em inequações quociente/produto e quando queremos plotar o gráfico, por exemplo, de uma função do tipo f(x)=|x±a|±|x±b|. Esses quadros são ligeiramente diferentes entre si. O quadro de sinais do segundo exemplo que eu dei pode ser visto aqui:

https://pir2.forumeiros.com/t165901-estudo-do-sinal-funcoes-modulares

Para casos de inequações quociente/produto acho mais fácil ver este exemplo: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacao-produto-e-quociente.htm

Bom, se sobrar dúvidas é só falar.