(FB) Gravitação

Deixou-se cair uma bolinha de massa m sobre um túnel que passa pelo centro de um planeta de massa M (distribuída homogeneamente) e raio R. A uma profundidade h, colocou-se uma parede. A colisão entre a bolinha e a parede é perfeitamente elástica. Determine o tempo que a bolinha leva para retornar à superfície.
Sem gabarito.

Olá,

Inicialmente, note que no interior do planeta a bolinha realizará um MHS:

Seja x a distância da bolinha ao centro do planeta
M' a massa do planeta que está contida na esfera de raio x

Como o planeta possui densidade uniforme, vem:

M/((4/3)πR³) = M'/((4/3)πx³) .: M' = M*x³/R³

A força F de atração entre o planeta e a bolinha é dada por:

Fr = M'mG/x² = .: Fr = (MmG/R³)*x 

(MmG/R³) = constante = k

Daí, o período do MHS é: T = 2π(m/k)^1/2 =  2π(R³/MG)^1/2

Logo, o tempo que a partícula demora para percorrer uma distância h no interior do planeta, ou uma distância θR, θ=arccos[(h-R)/R)], numa órbita rasante (que possui o mesmo período do MHS) é:

T --- 2π
t  --- θ

.: t = θ*T/2π = arccos[(h-R)/R)]*(R³/MG)^1/2

Daí, o tempo pedido é o dobro disso (ida e volta):

.: ∆t = 2*arccos[(h-R)/R)]*(R³/MG)^1/2 .

Vitor Ahcor escreveu:Logo, o tempo que a partícula demora para percorrer uma distância h no interior do planeta, ou uma distância θR, θ=arccos[(h-R)/R)], numa órbita rasante (que possui o mesmo período do MHS) é:

T --- 2π
t  --- θ

.: t = θ*T/2π = arccos[(h-R)/R)]*(R³/MG)^1/2

Daí, o tempo pedido é o dobro disso (ida e volta):

.: ∆t = 2*arccos[(h-R)/R)]*(R³/MG)^1/2 .

Olá, Vitor. Eu não consegui entender como foi encontrado  θ=arccos[(h-R)/R)]
Poderia me explicar? Obg!!

Note que a queda da bolinha é a projeção de um MCU ao redor do planeta, por isso o tempo é o mesmo.

Ah, entendi agora!!
Muito obrigada pela resposta e explicação.