Gravitação

Lança-se um satélite no espaço, com velocidade Vo, a uma distância Ro do centro da Terra. A velocidade Vo foi projetada para colocar o satélite em órbita circular de raio Ro. No entanto, devido ao mau funcionamento do controle, o satélite não é lançado horizontalmente, mas num ângulo qualquer alfa (a) com a horizontal, e, como resultado, é impelido numa órbita elíptica. Determine os valores máximo e mínimo da distância do centro da Terra ao satélite.

Resposta: (1 +/- sen a)Ro

Quando o satélite é lançado com um ângulo a em relação à horizontal, o vetor posição faz um ângulo de (90º + a) com a velocidade.

Conservando o Momento Angular no ponto de lançamento e no periélio, tem-se:

m.Vo.Ro.sen(90º + a) = m.Vp.Rp , onde
'Vp' é a velocidade e 'Rp' é o módulo do vetor posição no periélio.
Portanto: [V(G.M.Ro)].cos(a) = Vp.Rp (eq1).

A energia mecânica no periélio é igual a energia mecânica na órbita elíptica. Ou seja:
(m.Vp²)/2 - [(G.M.m)/Rp] = -(G.M.m)/(2.a)  (eq2)

Mas Rp = a - c => Rp = a.(1 - e) <=>
<=> a = Rp/(1 - e) (eq3), em que 'a' é o semi-eixo maior da órbita elíptica e 'e' é a excentricidade.

Substituindo (eq3) em (eq2) e isolando 'Vp', obtém-se:
Vp = [(G.M.(1 + e))/Rp]^(1/2).

Substituindo em (eq1), tem-se:
Ro.cos²(a) = (1 + e).Rp => Ro.cos²(a) = a.(1 + e)² <=>
<=> a = (Ro.cos²(a))/(1 + e)² (eq4).

Da 'Relação fundamental':
a² = c² + b², com b = Ro =>
=> a = Ro/[(1 -  e²)^(1/2)] (eq5).

A distância máxima será  Ra = a.(1 + e) e a mínima será
Rp = a.(1 - e), com 'e' e 'a' dados por (eq4) e (eq5).

Houve um deslize ali no final, quando eu usei a relação fundamental e disse que b = Ro. Isto não é válido.

O correto para finalizar o problema é igualar a energia mecânica de partida à energia mecânica na órbita elíptica:
(m.Vo²)/2 - (G.M.m)/Ro = -(G.M.m)/(2.a) <=>
<=> a = Ro.

Substituindo isto em (eq4), chega-se à:
e = cos(a) - 1.

Assim: Ra = Ro.cos(a) e
Rp = Ro.(2 - cos(a)).