Combinação

Em um grupo de 10 estudantes, composto por 3 moças e 7 rapazes, sabe-se que o número máximo de formas distintas de esses estudantes formarem uma fila, em que nenhuma dupla de moças ocupe posições consecutivas, é igual a k.8!. Com base nessa informação, pode-se afirmar que a soma dos dígitos de k é igual a 

A) 6 
B) 8 
C) 11 
D) 14 
E) 17

não entendi direito a parte em negrito

Significa que duas ou três moças nunca podem ficar juntas

8 posições proibidas para três moças

MMM _ _ _ _ _ _ _
_ MMM _ _ _ _ _ _ 
_ _ MMM _ _ _ _ _ 
_ _ _ MMM _ _ _ _ 
_ _ _ _ MMM _ _ _ 
_ _ _ _ _ MMM _ _ 
_ _ _ _ _ _ MMM _ 
_ _ _ _ _ _ _ MMM

Em cada uma delas a moças podem permutar ente si: 3!

Apenas duas moças juntas

MMRM _ _ _ _ _ _ ---> 2! para as moças, C(7, 1) para o rapaz ---> 6! para os demais rapazes 

RMMRM _ _ _ _ _  ---> 2! para as moças, C(7, 2) para os dois rapazes ---> 5! para os demais

RRMMRM _ _ _ _ ---> 2! para as moças, C(7,3) para os 3 rapazes ---> 4! para os demais

E assim por diante para determinar todos os casos proibidos

Pelo Primeiro Lema de Kaplansky, podemos escolher 3 lugares, entre 10 possíveis, sem que haja lugares consecutivos, de f(10,3) = C_{10 - 3 + 1}^3 = \frac{8!}{3!5!} = 56 modos. Depois disso, devemos organizar as 3 moças nesses lugares (3! modos) e os 7 rapazes nos lugares restantes (7! modos).

A resposta é 56·3!·7! = 42·8!.

Há outras formas de atacar esse tipo de problema. Deixarei alguns enunciado parecidos.

https://pir2.forumeiros.com/t160548-como-se-resolve-isso-fila#562598

Fica como dever de casa a tentativa por esse outro caminho.

Abs.