Apótema no octógono regular

por NMS50 Dom Set 22 2019, 21:04

Boa noite pessoal!

Estou tendo dificuldade para calcular a apótema de octógono regular de lado R√2-√2 (onde R é o raio da circunferência circunscrita).

Acredito que a fórmula para calcular seja L(1+√2)/2 (corrija-me se eu estiver errada) mas estou me atrapalhando no cálculo.

Gabarito: R/2(2+√2).

Agradeço se ajudarem!

por **Elcioschin** Dom Set 22 2019, 21:22

L = lado do octógono regular
R = raio do círculo circunscrito ao octógono

Ângulo central, oposto a L = 360º/8 = 45º

Lei dos cossenos no triângulo formado por L e pelos dois raios R:

L² = R² + R² - 2.R.R.cos45º

L² = 2.R² - 2.R².(√2/2)

L² = 2.R² - √2.R²

Seja A o apótema ---> A² = R² - (L/2)² ---> A² = R² - L²/4 ---> A² = R² - (2.R² - √2.R²)/4 --->

A² = 4.R²/4 - 2.R²/4 + √2.R²/4 ---> A² = 2.R²/4 + √2.R²/4 ---> A² = R².(2 + √2)/4 ---> R = √(2 + √2)/2

por lookez Dom Set 22 2019, 23:21

Uma visualização:

Pitágoras em △OAH:

R^2=x^2+\left(\frac{R\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right)^2

x^2=\frac{4R^2-R^2(2-\sqrt{2})}{4}

x^2=\frac{R^2(2+\sqrt{2})}{4}

\boxed{x=\frac{R\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}