Octógono Regular

por FlavioMachado Sáb 22 Jul 2017, 11:11

Em um octógono regular ABCDEFGH, BE intersepta CF em "P" e BG intersepta AF em "Q". Calcular PQ. Se a medida do raio da circunferência circunscrita ao polígono é raiz quadrada de dois mais uma unidade.
a)1 cm
b)2 cm
c)3 cm
d)4 cm
e)5 cm
R:b

por Castiel Sáb 22 Jul 2017, 13:33

Analise a figura II (O é o centro do círculo). Pela lei dos dos cossenos no triângulo OAB, encontramos a medida do lado:

$L^2 = (\sqrt{2}+1)^2 + (\sqrt{2}+1)^2 - 2.(\sqrt{2}+1).(\sqrt{2}+1).\frac{\sqrt{2}}{2}$

$L^2 = 2+\sqrt{2} <..> L = \sqrt{2+\sqrt{2}}$

Repare que os triângulos EFP e GFQ são retângulos isósceles (chegamos a essa conclusão apenas marcando os ângulos). Como os catetos medem L, então a hipotenusa mede L.V2 (FQ = FP = L.V2)

Podemos encontrar X (PQ) de duas maneiras: ou pela leis dos cossenos no triângulo FQP, ou pela semelhança entre os triângulos OAB (figura II) e FQP. Vou fazer pela semelhança, pois dá menos conta:

$\frac{x}{L} = \frac{L\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$

$x = \frac{L^2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$

$x = \frac{(2+\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$

$x = 2$

por **Medeiros** Dom 23 Jul 2017, 01:38

Uma resolução apenas por Pitágoras.

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