Função composta e inversa

por matheuszao Ter 03 Set 2019, 12:00

Sejam f e g duas funções, ambas com domínio A e imagem B, subconjuntos de R e que admitem inversa. Seja f^-1 a inversa e f e g^-1 a inversa de g. Suponha ainda que f(g^-1(x)) = g(f^-1(x)) para todo x no domínio das inversas. É correto afirmar que:

resposta: (f^-1 o g)(x) = (g^-1 o f) para todo x∈A.

não sei como começar, gostaria de uma resolução detalhada passo a passo, obrigado!

por **mauk03** Ter 03 Set 2019, 15:35

f(g^-1(x)) = g(f^-1(x)) é equivalente a (f o g^-1)(x) = (g o f^-1)(x).

Como essas funções compostas são iguais então suas inversas também são iguais, ou seja:
(f o g^-1)^-1(x) = (g o f^-1)^-1(x) (*)

Aplicando as propriedades (f^-1)^-1(x) = f(x) e (f o g)^-1(x) = (f^-1 o g^-1)(x) em (*):
(f^-1 o g)(x) = (g^-1 o f)^-1(x)

Caso queira ver uma demonstração para a propriedade usada:
https://math.stackexchange.com/questions/2349/how-to-prove-f-circ-g-1-g-1-circ-f-1-inverse-of-compositio

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