EN - Elipse

Acho que o caminho é realmente fazer a conta substituindo uma equação na outra e fazendo Δ = 0 para achar o m das retas tangentes, mas se você gostar de decorebas existe um truque que eu aprendi no cursinho chamado equação mágica da reta, que encontra direto o m das retas tangentes passando por um ponto exterior:



Não lembro como demonstrar, mas precisa utilizar derivadas.

Não tinha conhecimento disso, valeu lookez, vou dar uma olhada!

Lookez, esse tipo de material é bem bacana, é do Elite?

Sanches, uma saída é a seguinte(acredito que a mesma saída é a que gera as "equações mágicas" que o Lookez mostrou, basta apenas generalizar um ponto externo P(a,b))

Derivando implicitamente a elipse dada

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1\right) \longrightarrow \frac{x}{8}+\frac{2yy'}{25}=0

y'=-\frac{25x}{16y}

Mas também temos que

y'=\frac{y}{x-8}

-\frac{25x}{16y}=\frac{y}{x-8}

\frac{16y^2}{25}=x(8-x)

Da equação da elipse

\frac{y^2}{25}=1-\frac{x^2}{16}

16\left(1-\frac{x^2}{16}\right)=x(8-x)

16-x^2=x(8-x)

x=2

y=\pm \frac{5\sqrt{3}}{2}

\begin{vmatrix}
8& 0 & 1   \\
2 & \frac{5\sqrt{3}}{2} & 1 \\
2 &-\frac{5\sqrt{3}}{2}  & 1  
\end{vmatrix} =30\sqrt{3}


\frac{|\Delta|}{2}=15\sqrt{3}

Minha base de cálculo é bem precária, visto que não cai na minha prova; tive que dar uma revisada, mas agora compreendi, valeu Snooply, não sofro mais com esse tipo de questão agora xdd

SnoopLy escreveu:Lookez, esse tipo de material é bem bacana, é do Elite?

É do curso Pensi, apostila da turma IME/ITA 2019, a qual eu faço parte.

Deixo aqui a resolução padrão sem utilizar cálculo aos interessados:

Equação rápida da reta passando por P(8, 0): y = mx - 8m
Substituindo na elipse : x²/16 + (mx - 8m)²/25 = 1 --> 25x² + 16m²x² - 256m²x + 1024m² - 400 = 0
Manipulando para deixar na forma de uma equação do segundo grau em x: (16m² + 25)x² - 256m²x + (1024m² - 400) = 0

Como a reta é tangente o ponto será único, logo essa equação deve ter raiz dupla, ou seja, Δ = 0:
256²m⁴ - 4(16m² + 25)(1024m² - 400) = 0 --> m² = 400/768 --> m = ±5√3/12
Assim as retas tangentes procuradas são r: y = (5√3/12)x - 10√3/3 e s: y= -(5√3/12)x + 10√3/3

Fazendo a interseção das mesmas com a elipse, encontramos o ponto (2, -5√3/2) para a reta r e (2, 5√3/2) para s, agora basta utilizar um determinante com os três pontos para calcular a área como foi feito na resolução do camarada acima.



Existe também uma maneira prática que eu costumo utilizar: da mesma forma que existem as equações mágicas para retas tangentes conhecendo-se um ponto externo, temos também as equações da reta tangente por um ponto que pertence a curva, também demonstradas com derivada:


No entanto, quando se utiliza um ponto externo nessa equação ao invés de um ponto de tangência, obtemos a equação de uma reta que passa pelos dois pontos de tangência procurados, assim basta fazer a interseção dessa nova reta com a elipse e achamos direto os dois pontos que faltam para calcular a área pedida. Caso o problema pedisse as retas tangentes e não o ponto de tangência, seria melhor utilizar a equação mágica mencionada acima.

Não me recordo do porquê de isso funcionar, mas há uma explicação. Tenha em mente que essas equações são truques específicos de cursinho para ganhar vantagem em vestibulares, não seria a solução ideal caso estivesse produzindo um trabalho ou algo do tipo, pois são pouco conhecidas e precisam ser decoradas, o que não é muito prático.