Circunferência e reta tangente

por Francisco+1 Ter 16 Jul 2019, 08:24

Tem-se uma reta r que tangencia a circunferência x2 + y2 – 6x – 8y + 16 = 0. Sabendo que a origem do sistema de eixos cartesianos, o centro da circunferência e o ponto de tangência são colineares, a distância da origem ao ponto de tangência é
a) 2 ou 8.
b) 2 ou 6.
c) 4 ou 10.
d) 6 ou 8.
e) 8 ou 10.

por SanchesCM Ter 16 Jul 2019, 09:02

Olá, estarei postando a resolução em foto, caso não entenda algo ou o gabarito não esteja de acordo, é só falar!
Obs: o determinante será zero pq por ser colinear, a área entre aqueles pontos será igual a zero.

por Emersonsouza Ter 16 Jul 2019, 09:26

x^2+y^2-6x-8y +16=0> equação geral da circunferência.
(X-a)^2+ (y-b)^2 =r^2 --> forma reduzida .
a e b--> centro da circunferência.
Desenvolvendo a equação geral temos:

X^2 -2ax +a^2 + y^2 -2by + b^2 = r^2
X^2 + y^2-2ax -2by +a^2 + b^2-r^2=0
Comparando os termos com equação dada obtemos o seguinte:
-2ax=-6x--> a=3
-2yb=-8y--> b=4
a^+b^2-r^2=16--> r=3
C(3,4)
A origem de sistema cartesiano tem coodernadas O (0,0)
Seja p(x,y) o ponto de tangência.
A distância de C até p é 3 (raio)
A distancia de O até c é d=V(3^2 +4^2)=5
Portanto,a distância de O até p é d+3=5+3=8 ( p nã está entre C e O) Ou 5-3=2(p está entre C e O).

Segunda forma de resolver.

P(x,y),O(0,0) e C(3,4)
Como os três pontos são colineares,D=0.
D=| 0 0 1|
|3 4 1|
|X Y 1|
3y-4x =0 --> eq.da reta formada pelos pontos colineares.
Esta reta é secante a circunferência,pois o centro da circunferência pertence à reta,portanto, delta maio que 0.
Isolando x e substituindo na equacao da circunferência temos:
X=3y/4--> ((3y/4 )-3)^2 + ( y-4)^2= 9
->( 9/16)y^2 -18y/4 +9 + y^2 -8y +16 -9=0
25y^2-200y +256=0
Y=32/5 ou y= 8/5
Y=32/5 --> x= 3y/4=24/5
Y=8/5--> x=6/5
dOP =V(( 8/5 -0)^2 +(6/5-0)^2) =2
Ou
dOP=V((32/5)^2 +(24/5)^2)=8

OBS:postei pq já tinha desenvolvido boa parte disso quando o colega SanchesCM resolveu a questão.