(Álgebra I - Morgado) Página 32 - Questão 6

A população de Itapipoca era um quadrado perfeito. Depois, com um aumento de 100 habitantes, a população passou a ser uma unidade maior que um quadrado perfeito. Depois, com outro aumento de 100 habitantes, a população voltou a ser um quadrado perfeito. A população original era um múltiplo de: 

a) 3      b) 7      c) 9      d) 11      e) 17

Para resolver, lembrei que a diferença entre quadrados consecutivos sempre é ímpar, e vai aumentando com os valores dos quadrados. Juntando com o as informações do enunciado, encontrei 49^2 como valor que satisfaz (ou me parece satisfazer) a quantidade para população inicial do problema. Daí, a resposta seria b) 7. Mas no gabarito está e) 17. Alguém poderia me confirmar se eu errei/o gabarito está errado? Obrigado.

x² = população inicial

x² + 100 = y² + 1 ---> x² + 99 = y² ---> x² = y² - 99 ---> I

x² + 200 = z² ---> x² = z² - 200 ---> I

II = I ---> z² - 200 = y² - 99 ---> z² - y² = 101 ---> (z - y).(z + y) = 101

Como 101 é primo, só existe uma única solução:

z - y = 1
z + y = 100
--------------
2.z = 102 ---> z = 51 ---> y = 50 

I ---> x² = y² - 99 ---> x² = 50² - 99 ---> x² = 2401 = 7⁴ ---> b) múltiplo de 7