Trigonometria

por Presa Seg 08 Jul 2019, 12:23

Se θ é um ângulo agudo tal que

. O valor numérico |Tg4θ| é igual a :

A) 1

B) 3/4

C)√(3)/3

D) √3

E) √3 + 1

Gab : Letra D

por radium226 Seg 08 Jul 2019, 13:25

Usando prostaférese e os arcos complementares, temos no numerador de tan(2θ):cos(\theta)-sin(\theta)=sin(\frac{\pi}{2}-\theta)-sin(\theta)=2sin(\frac{\frac{\pi}{2}-\theta-\theta}{2})cos(\frac{\frac{\pi}{2}-\theta+\theta}{2})=2sin(\frac{\pi}{4}-\theta)cos(\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4}-\theta)\sqrt2
Faça o mesmo no denominador e obterá cos(\frac{\pi}{4}-\theta)\sqrt2. Portanto, a razão entre esses cancela o \sqrt2 e obtemos tan(2\theta)=tan(\frac{\pi}{4}-\theta) Como θ é angulo agudo (informação dada no enunciado), essa igualdade só e válida se os próprios ângulos das tangentes forem iguais: \frac{\pi}{4}-\theta=2\theta \Rightarrow \frac{\pi}{4}=3\theta Divida a igualdade por 3 e multiplique-a por 4: 4\theta=\frac{\pi}{3} \Rightarrow tan(4\theta)=tan(\frac{\pi}{3})=\sqrt3

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