Prismas e pirâmide, IME/ITA nível 1

Dada uma pirâmide quadrangular regular de altura 4 e aresta da base 6, qual o raio da esfera tangente às arestas?

Gabarito:

Meus cálculos não batem com o gabarito, gostaria de saber se estou errando algo:

Seja ABCD a base da pirâmide e P seu vértice, por pitágoras achei que as arestas laterais medem √34.
Seja G o centro da esfera tangente às arestas e R seu raio, G pertence a altura = 4, chamei a distância de G à base de x, portanto a distância de G ao vértice P é 4 - x.
Como a esfera tangencia as arestas das bases no ponto médio destas, fiz um corte na pirâmide ortogonal ao plano da base, paralelo às arestas da base, passando pelo ponto P e por dois pontos médios das arestas da base, resultando na seguinte figura: 


Assim obtendo a equação (1): R² = x² + 9
Em seguida, fiz outro corte ortogonal ao plano da base, contendo a diagonal AC da base e o ponto P, bem como dois pontos M e N de tangência da esfera nas arestas laterais, resultando na seguinte figura:


Por pitágoras no triângulo AGH, acho AG² = x² + 18, depois pitágoras no triângulo AGM, utilizando a equação (1), acho AM = 3, e portanto PM = √34 - 3.
Por pitágoras no triângulo PMG, utilizando também a equação (1), acho x = -\frac{9}{2} + \frac{3\sqrt{34}}{4}.
E, finalmente, substituindo x na equação (1), chego a bizarra expressão R = \sqrt{\frac{387}{8} - \frac{27\sqrt{34}}{4}}, o que difere do gabarito. onde estou errando?

Questão interessante, quer-se uma esfera tangenciando as 8 arestas (as 4 da base e as 4 laterais) -- vai sobrar barriga da esfera pra fora das faces (as cinco) da pirâmide. Acho evidente que o centro da esfera fica dentro da pirâmide, ou seja, acima do plano da base (um pouquinho só).

Agora já é tarde e só fiz um esboço (bem rascunhado) de desenho mas acho que isto chega na resposta:
aresta lateral = ((3√2)² + 4²)^1/2 = √34
distância do centro até a base da pirâmide = y

\\y = \sqrt{R^2 - 9} \\\\
\frac{R}{3\sqrt{2}} = \frac{4 - y}{\sqrt{34}}

substitui a primeira na segunda e calcula R.

Medeiros escreveu:Questão interessante, quer-se uma esfera tangenciando as 8 arestas (as 4 da base e as 4 laterais) -- vai sobrar barriga da esfera pra fora das faces (as cinco) da pirâmide. Acho evidente que o centro da esfera fica dentro da pirâmide, ou seja, acima do plano da base (um pouquinho só).

Agora já é tarde e só fiz um esboço (bem rascunhado) de desenho mas acho que isto chega na resposta:
aresta lateral = ((3√2)² + 4²)^1/2 = √34
distância do centro até a base da pirâmide = y

\\y = \sqrt{R^2 - 9} \\\\
\frac{R}{3\sqrt{2}} = \frac{4 - y}{\sqrt{34}}

substitui a primeira na segunda e calcula R.

Obrigado mestre, não notei a semelhança entre os triângulos PGM e PHA na minha segunda figura e acabei fazendo muito mais contas que o necessário. Na verdade a minha resposta está correta, utilizei a calculadora e o valor aproximado é o mesmo do gabarito, só precisa ser simplificada. Sua resposta resulta direto no gabarito.

OBS: Na minha calculadora R não tem solução real para y = \sqrt{R^2 - 9}, mas utilizando y = \sqrt{R^2 + 9} encontra-se o gabarito. Talvez tenhamos assumido erroneamente que o centro da esfera está dentro da pirâmide.

Lookez

você tem razão em duas coisas:

1)
realmente o centro da esfera fica fora da pirâmide. Por sorte a mecânica que você usou na resolução não interferiu no resultado. Mas a minha suposição, que eu achava "evidente", estava errada -- isto serve para nos alertar que em matemática não devemos seguir instintos mas somente a razão, tudo deve ser verificado e comprovado. Depois posto minha resolução, feita cuidadosamente e com esta pendência resolvida, para deixar a quem vier aqui.

2)
a resposta a que você chegou está exata até a última casa decimal no infinito, bastava ter trabalhado os radicais, veja abaixo:

Para facilitar a visualização:

Por semelhança de triangulo, tem-se:

\frac{k}{\sqrt{34}-3}=\frac{3}{5} \rightarrow k=\frac{3}{5}\times(\sqrt{34}-3)






Analisando os triângulos retângulos :
R^{2}=3^2+x^2
R^{2}=n^2+k^2
(4+x)^{2}=n^2+(5-k)^2

Desenvolvendo a ultima expressão:
16+8x+x^{2}=n^2+25-10k+k^2
Como R²=9+x²=n²+k², subtrai-se 9+x² da esquerda e n²+k² da direita:
7+8x=25-10k

x=\frac{9-5k}{4} \rightarrow x=\frac{18-3\sqrt{34}}{4}

Como: R²=9+x²


R^2=9+\frac{324-108\sqrt{34}+306}{16} \rightarrow R^2=9\frac{43-6\sqrt{34}}{8}

R=\frac{3}{\sqrt{8}}\sqrt{43-6\sqrt{34}}

Sabendo que:

\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}-\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}

A=43 → A²=1849 e B=1224

\sqrt{A^2-B}=\sqrt{1849-1224}=25

\sqrt{43-6\sqrt{34}}=\sqrt{\frac{43+25}{2}}-\sqrt{\frac{43-25}{2}}=\sqrt{34}-3

logo:
\sqrt{43-6\sqrt{34}}=\sqrt{\frac{43+25}{2}}-\sqrt{\frac{43-25}{2}}=\sqrt{34}-3

R=\frac{3}{\sqrt{8}}(\sqrt{34}-3 )=\frac{6\sqrt{17}-9\sqrt{2}}{4}

Para melhor visualização: