FUVEST: Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si

por luma_petrovich Sex 31 maio 2019, 22:53

Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é
a) 1/4
b) 7/24
c) 1/3
d) 3/8
e) 5/12

por **Mateus Meireles** Sex 31 maio 2019, 23:43

Olá, luma

Resolveremos o problema usando permutação caótica.

O número de modos de distribuirmos 4 papéis de modo que nenhum participante receba um contendo o seu próprio nome é dado por:

D_4 = 4! \left [ \frac{1!}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right ]

D_4 = 24 \left [ \frac{1!}{1} - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right ]

D_4 = 9

O espaço amostral é 4! pois é o número de formas de distribuirmos quatro quaisquer papéis entre os quatro participantes.

A resposta é \frac{9}{24} = \frac{3}{8}