O complemento do ângulo CBD em graus na figura

O complemento do ângulo CBD em graus na figura abaixo é:

a)40
b)45
c)50
d)55
e)60 

sen15º = sen(45º - 30º) = sen45º.cos30º - sen30º.cos45º = (√6 - √2)/4

BÂC + B^CA + A^BC = 180º ---> 30º + 15º + A^BC = 180º ---> A^BC = 135º

A^BD + C^BD = A^BC ---> A^BD + x = 135º ---> A^BD = 135º - x

Seja AD = CD = k

Lei dos senos:

∆ ABD ---> BD/senBÂD = AD/senA^BD ---> BD/sen30º = k/sen(135º - x) ---> BD =  k/2.sen(135º - x) ---> I

∆ BDC ---> BD/sen15º = k/senx ---> BD = k.sen15º/senx ---> II

I = II ---> Elimine k, desenvolva e calcule senx, cosx, x

Complemento de x = 90º - x ---> Complete

Outro modo (depois de pensar muito).

Queremos o valor do ângulo φ = 90° - x (que é o complemento de x).

Seja k=AD=DC e considere o semicírculo de diâmetro AC com centro em D de o raio k.

prolongamos AB até a semicircunferência em E, obtendo o triângulo AEC, retângulo em E, com ângulo Â=30°. Então o cateto EC=k. No triângulo retângulo EBC, o ângulo E^CB=E^BC=45° e a hipotenusa BC=k.√2.

Seja BD=m.
Façamos agora uma homotetia de reflexão do triângulo BCD sobre o lado BC. Para isto, basta obter o ponto F simétrico do ponto D em relação ao segmento BC.
Ficamos com BF=BD=m, CF=CD=k, e os ângulos F^CD=30° e F^BD=2x.

o resto das contas está na figura. Usamos duas vezes a lei dos cossenos nos triângulos DCF e BDC; e fomos favorecidos pela constatação de que o triângulo BDF (que contém o ângulo 2x) é equilátero -- não o fosse, teríamos que aplicar novamente a lei dos cossenos neste triângulo.

____________________________________edição

agora, depois de achar o ângulo, fica fácil perceber que ∆BDC ~ ∆ABC.