Unb- Complexos

A figura acima ilustra um triângulo equilátero ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 centrada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y) é identificado com o número complexo z = x + iy. Esse triângulo foi obtido a partir da representação plana de uma molécula de amônia (NH₃ ), na qual os três átomos de hidrogênio estão posicionados nos seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se na origem.

1- Os vértices A, B e C correspondem às raízes complexas do polinômio f(z) = z³ – 8.
2- Se z₁ corresponde ao ponto C e se z₂ corresponde ao ponto B, então z₁/z₂=z₂/2
Gab: C C

1) O vértice A corresponde a z = 2

Dividindo o polinômio z³ - 8 por z - 2, usando Briott-Ruffini:

_|1 0 0 -8
2|1 2 4 .0

z² + 2.z  + 4 = 0 ---> z1 = - 1 - i.√3 e z" = - 1 + i.√3

z2 = - 1 + i.√3 --> z'2 = 2.(-1/2 + i.√3/2) --> z2 = 2.cos120º + i.sen120º) --> vértice B

z1 = - 1 - i.√3 ---> z1 = 2.(-1/2 -i.√3/2) ---> z1 = 2.cos240º + i.sen240º) ---> vértice C


2) z1/z2 = z2/2 ---> 2.z1 = (z2)² ---> 2.(- 1 - i.√3 ) = (- 1 + i.√3)² --->

 - 2 - i.2.√3 = 1 - i.2.√3 - 3 ---> - 2 - i.2.√3 = - 2 - i.2.√3 ---> OK