Travessia Rio

Um indivíduo corre , nas margens retilíneas de um rio , com velocidade "v" , partindo de A. De B a C atravessa o rio com velocidade "v/2".Sabendo que esse trajeto corresponde ao  menor tempo possível , determine as distâncias AB e BC.Suponha nula a velocidade da correnteza 

Resposta:

Seja C' o ponto à direita de B ---> x = AB --->  BC' = 3 - x

BC² = BC'² + CC'² ---> BC² = (3 - x)² + 1² ---> BC = √(x² - 6.x + 10)

t' = AB/v ---> t' = x/v
t" = BC/(v/2) --> t" = 2.√(x² - 6.x + 10)/v

t = t' + t" ---> t = x/v + 2.√(x² - 6.x + 10)/v

Basta derivar t em função de x , igualar a derivada a zero e calcular x

Dá para fazer pela 2ª Lei de Snell-Descartes: n1.sena = n2.senb
n1 seria algo semelhante ao índice de refração fora da água e n2 na água.
sena é referente ao ângulo que o indivíduo faz com a normal quando corre e senb quando nada.
Chamemos de C' o ponto à direita de B.



Sendo n2/n1 = v1/v2, tem-se:
sena/seb = v1/v2
sena/senb = v/(v/2)
sena/senb = 2
Como a = 90º
senb = 1/2
b = 30º 
(Esse procedimento é o mesmo para calcular o ângulo de refração limite de um meio em relação a outro)
Vejamos que b também é o ângulo BCC'. Assim, BC'/CC' = BC'/1 = tg30º --> BC' = 0,577 
3 - BC' = AB
AB = 2,42 km

BC = CC'/cos30º
BC = 1/cos30º
BC = 1,15 km