introdução à analítica

por JohnnyC Qui 21 Mar 2019, 22:10

Determine o ponto P pertencente à AB, sabendo que AP = 2PB e que A = (1,3) e B = (4,9).

R:

P(2,5)

Pessoal, tentei fazer a questão mas não consigo chegar ao gabarito. Alguém sabe resolver ?
Obrigado.

por **Elcioschin** Qui 21 Mar 2019, 23:07

Ou existe erro no enunciado (por exemplo BP = 2.AP) ou gabarito errado:

por JohnnyC Qui 21 Mar 2019, 23:26

Mestre, justamente...eu tentei resolver de todas as maneiras possíveis e não consegui chegar nesse gabarito.
O enunciado está correto e o gabrito é esse que meu livro deu.
Muito estranho!

De qualquer maneira, como o senhor resolveu ? Poderia explicar, por favor ?
Eu joguei meu rascunho fora, mas lembro que encontrei a abscissa igual a 3, assim como o senhor.

por JohnnyC Qui 21 Mar 2019, 23:43

PS: Mestre, novamente peguei pra resolver a questão e, assim como o senhor, também encontrei P(3,7).
Será que, de fato, é esse o gabarito ?

por **Elcioschin** Qui 21 Mar 2019, 23:50

Calcule a distância AB ---> AB² = (xB - xA)² + (yB - yA)²

AB² = (4 - 1)² + (9 - 3)² ---> AB = 3.√5

AP + BP = AB ---> 2.BP + BP = AB ---> 3.BP = 3.√5 ---> BP = √5 ---> AP = 2.√5

Se AP = 2.BP ---> semelhança de triângulos:

xP - xA = 2.(xB - xP)
yP - yA = 2.(yB - yP)

por JohnnyC Qui 21 Mar 2019, 23:53

Tá perfeito, Mestre, muito obrigado.
Eu cheguei justamente no mesmo resultado que o senhor: P(3,7). Vou supor que seja o gabarito verdadeiro, pois não consegui por nada chegar na resposta do livro.

por marcosprb Sex 22 Mar 2019, 00:03

Vou mandar a minha resolução. Cheguei na mesma resposta.
Seja o ponto P(c;d) e 2x-y+1=0 a equação da reta AB. Se o ponto P pertence a reta AB => 2c-d+1=0 => d=2c+1. Então, o ponto P pode ser escrito como P(c;2c+1)
Se AP=2PB => AP/PB=2 => (xP-xA)/(xB-xP)=2 => c=xP=3 ; 2c+1= xY=7
P(3;7)

por JohnnyC Sex 22 Mar 2019, 00:35

Excelente, marcosprb.
Vou anexar minha resolução para ficar mais nítido. Utilizei propriedades de PA e, o resto, geometria mesmo.
Caso haja dúvidas, é só perguntar:

por marcosprb Sex 22 Mar 2019, 09:59

JohnnyC escreveu:Excelente, marcosprb.
Vou anexar minha resolução para ficar mais nítido. Utilizei propriedades de PA e, o resto, geometria mesmo.
Caso haja dúvidas, é só perguntar:

Johnny, achei interessante essa resolução usando P.A. Na verdade, você acabou deduzindo a razão de seção da geometria analítica.
Mas se não quiser ficar pensando em PA, basta utilizar fórmula da razão de seção de uma vez.
Se o ponto P divide o segmento AB numa razão 2:1, temos uma fórmula pronta para descobrir a coordenadas de P
xP=(xA+rxB)/1+r

por JohnnyC Sex 22 Mar 2019, 11:56

Amigo marcosprb, não conhecia essa relação. Poxa, bem útil mesmo, vou anotar no meu material. De fato, é bem mais prático.
O mesmo vale para acharmos o yP, correto ? trocando, no caso, 'x' por 'y'.

Obrigado pelo bizu.