Função, Simetria e Gráfico da Função

Anteriormente a minha dúvida, há um exemplo:
Mostre que o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das coordenadas (isto é, (-x,y) E Gf sempre que (x,y) E Gf. (Gf = Gráfico da função / E = pertence)

A solução é:

Seja (x,y) e Gf arbitrário.
Por definição de Gf, temos que y = f(x). Logo,
(-x,y) = (-x, f(x))
         = (-x, f(-x)) (pois é par)
         = (z, f(z)), onde z = -x E Gf
Isso mostra que (-x,y) pertence a Gf, como queríamos.

Agora no exemplo que quero responder, ele pede para demonstrar que o gráfico de uma função impar é simétrico a origem, se (x,y) E Gf, então (-x,-y) também pertencendo a Gf.
Diz-se que o raciocínio é similar ao de cima, eu pensei em algumas coisas mas estou ainda confuso.
Pq ele usa "z" no exemplo acima e com isso consegue afirmar o que queria, e como consigo mostrar a afirmação do exemplo 2?

Pensando em resolver cheguei a seguinte conclusão par ao exemplo 2:
Seja (x,y) e Gf arbitrário.
Por definição de Gf, temos que y = f(x). Logo,
(-x,-y) = (-x, -f(x))
         = (-x, f(-x)) (pois é impar)
         = (z, f(z)), onde z = -x E Gf
Isso mostra que (-x,-y) pertence a Gf, como queríamos.

Eu acabei chegando nessa resposta, porém eu ainda fico me perguntando como substituir -x por z garante que (-x,-y) pertence ao gráfico da função. z seria um ponto arbitrário?