Dilatação Térmica

por edwards123 15/2/2019, 9:32 pm

Tres bastões de mesmo comprimento L formam um triangulo equilátero ABC. O ponto O é o médio do lado BC. A distancia OA permanece inalterada para pequenas variações de temperatura. Se o coeficiente de dilatação linear para AB e AC é α₂ e para BC é α₁ , qual a relação entre os coeficientes?

Resposta: α₁=4α₂

por **Giovana Martins** 16/2/2019, 12:54 am

Tem certeza quanto ao gabarito? Cheguei justamente no oposto.

Sejam k=AB=AC e t=BC, com k=t já que o triângulo é equilátero.

Após uma variação de temperatura:

\\\ell_{AB}=\ell_{AC}=k(1+\alpha _1\Delta \theta)\ \wedge\ \ell_{BC}=t(1+\alpha _2\Delta \theta)\\\\h^2=k^2(1+\alpha _1\Delta \theta)^2-\left [\frac{1}{2}t(1+\alpha _2\Delta \theta) \right ]^2\\\\h=\sqrt{k^2(1+\alpha _1\Delta \theta)^2-\frac{1}{4}t^2(1+\alpha _2\Delta \theta)^2}

Sem variarmos a temperatura:

h^2=k^2-\left ( \frac{1}{2}t \right ) ^2\to h=\sqrt{k^2-\frac{1}{4}t^2}

Da igualdade entre as expressões finais tendo em vista que a distância OA mantem-se constante:

\\\sqrt{k^2-\frac{1}{4}t^2}=\sqrt{k^2(1+\alpha _1\Delta \theta)^2-\frac{1}{4}t^2(1+\alpha _2\Delta \theta)^2}\\\\k^2-\frac{1}{4}t^2=k^2(1+\alpha _1^2\Delta \theta^2+2\alpha _1\Delta \theta)-\frac{1}{4}t^2(1+\alpha _2^2\Delta \theta^2+2\alpha _2\Delta \theta)\\\\\alpha _1^2\Delta \theta^2\approx0,\ \alpha _2^2\Delta \theta^2\approx0\ \wedge\ k=t\\\\\therefore \ \cancel {1-\frac{1}{4}}=\cancel{1}+2\alpha _1\cancel {\Delta \theta}\cancel {-\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\alpha _2\cancel {\Delta \theta}\to \boxed {\alpha _2=4\alpha _1}

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