Dedução da fórmula da hipérbole

Como eu provo que a medida c do triângulo retângulo (hipotenusa) é igual a medida do centro ao foco, isto é, vale c? Na hiperbole
Grato

Ninguém sabe?

Isso é o mesmo que provar que em uma hipérbole c^2=a^2+b^2, já que dai é fácil ver esse triangulo retângulo. Para fazer isso olha-se o ponto com maior valor de y, que esta no infinito assintoto a parte superior direita da hipérbole.
Considerando a hipérbole:
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1  
Uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem a propriedade de que a diferença entre as distancias do ponto aos focos é constantes, ou seja:
\left | \left | P-F_1 \right |-\left | P-F_2 \right | \right |=k  
Usando valores conhecidos, como o vértice (a,0) e sabendo que as coordenados dos focos são (c,0) e (-c,0) determinamos k como sendo igual a 2a .
Agora entra o conceito de limites:
\\(x,y )\rightarrow \infty \\
\left | \frac{y}{x} \right |\rightarrow \frac{b}{a}
Logo usando novamente o conceito geométrico de hipérbole:
\\
\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\\
\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\times \frac{\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}}{\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}}\\
\frac{4c}{\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}}\\
\frac{4c}{\sqrt{(1+c/x)^2+(y/x)^2}+\sqrt{(1-c/x)^2+(y/x)^2}}\\
\frac{2ac}{\sqrt{a^2+b^2}}=2a\rightarrow a^2+b^2=c^2

N entendi a partir da parte q multiplicou pelas frações de  raizes...sei q é para deixar 4c, mas n enxerguei nd a partir daí......xD....mas Isso n provou que a medida da hipotenusa (c) tem a mesma medida do centro ao foco (c)...

JEABM escreveu:N entendi a partir da parte q multiplicou pelas frações de  raizes...sei q é para deixar 4c, mas n enxerguei nd a partir daí......xD....mas Isso n provou que a medida da hipotenusa (c) tem a mesma medida do centro ao foco (c)...

Não é uma conta muito difícil acho que um programa virtual pode fazer isso.(symbolab ou outro ai).
Ja sobre a prova, esse valor c^2=a^2+b^2 não vem do teorema de pitagoras, mais é muito parecido e pode ser usado para criar esse triangulo retângulo já que os catetos a e b são os mesmos.
Os valores a,b e c vem da definição de hipérbole, a sendo a distancia entre os vértices e a origem, c a distancia entre a origem e o foco, e b o segmento perpendicular de um vértice a uma assintota, a partir dessa relação entre esses 3 valores é que se monta aquele triangulo. Primeiro trace uma linha entre os 2 vértices, vai ter valor 2 a, e uma perpendicular a essa linha de valor 2b, a partir desse retângulo formado se forma esse triangulo. Mais essa relação não vem de pitagoras.

Sim...o 2a e 2b eu entendi q é da definição de hipérbole e tb q 2c é a distância entre os dois focos, mas eu n sei se estou sabendo expressar minha dúvida (o lado c do triângulo retângulo) tem a mesma medida do centro ao foco...isso que n estou conseguindo provar...

Do centro ao foco o valor é c....e na hipotenusa do triângulo retângulo é c (q é a msm medida) xD

Se você pegar uma hipérbole normal o que é esse triangulo?
Da pra ver que é apenas uma manipulação.
Montando o retângulo que falei acima temos algo assim:

Agora digamos que queiramos saber a distancia entre o ponto (0,b) e o ponto (a,0) e vamos chamar ela de x, como sabemos que a e perpendicular a b podemos aplicar pitagoras chegando x^2=a^2+b^2 e pela teoria de hipérbole sabemos que c^2=a^2+b^2, logo c=x.

Desde já agradeço a ajuda p entender xD

Você quer uma prova só usando geometria ?
Bom, por Geometria analítica é fácil, temos que provar o seguinte:
dOF_2=dA_2B
Logo:
\\\sqrt{\Delta y^2+\Delta x^2}=\sqrt{\Delta y'^2+\Delta x' 2}\\
\Delta y^2+\Delta x^2=\Delta y'^2+\Delta x' 2\\
(0-0)^2+(c-0)^2=(b-0)^2+(a-0)^2\\
c^2=b^2+a^2
Sabemos que isso é verdade, logo confirmamos que as distancias são iguais, por geometria plana não me vem nenhuma ideia.

N achei em lugar nenhum a prova nem por geometria