Sistema de inequações

por RMelo Dom 10 Fev 2019, 12:15

3) (Ufc 2000) Sejam x e y números reais tais que:
1/4 < x < 1/3; 2/3 < y < 3/4 e A = 3x - 2y

Então é correto afirmar que:

a) 4/3 < A < 5/2
b) 3/4 < A < 1
c) -4/3 < A < -3/4
d) -3/4 < A < -1/3
e) -1/3 < A < 0

O modelo de solução proposto no livro é este aí, abaixo:

Solução: D

Para determinar o menor valor de A, usaremos o menor valor de x e o maior de y, assim temos:

A = 3x - 2y =3(1/4)–2(3/4) = (3/4) – (6/4) = -3/4

Para determinar o maior valor de A, usaremos o maior valor de x e o menor de y, assim temos:

A = 3x - 2y = 3.(1/3) – 2 (2/3) = 1 – (4/3) = -1/3

Mas, raciocinei que ele também pode ser resolvido por comparação entre frações - só não sei se uma demonstração do tipo seria considerada correta

Logo os possíveis valores de A encontram-se no intervalo -3/4 < A < -1/3.

1/4 < x < 1/3 também pode ser representado por 6/24 < x <8/24, bem como 2/3 < y < 3/4 também pode ter a forma 16/24 < y < 18/24, depreendendo-se que x e y teriam - nessa representação - valores iguais a 7/24 e 17/24.

Portanto, a única resposta que satisfaria a definição de A seria -18/24 < A < -3/24 (conversão para o mesmo denominador)

De qualquer forma, foi só uma nova forma de resolver o problema, não sei se seria aceita pelo examinador...

por **Mateus Meireles** Dom 10 Fev 2019, 12:32

Uma ideia mais tranquila é manipular as inequações, veja

i) \quad \frac{1}{4} < x < \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4} < 3x < 1

ii) \quad \frac{2}{3} < y < \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{3} < 2y < \frac{3}{2}

Agora basta multiplicar a segunda inequação por -1 , mas lembrando-se que devemos tomar cuidado com os sinais dela

\frac{4}{3} < 2y < \frac{3}{2} \quad \times \, ( -1)

- \frac{4}{3} > -2y > -\frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{3}{2} < -2y < - \frac{4}{3}

Por fim, é suficiente somarmos,

\hspace{1cm} \frac{3}{4} < 3x < 1

\underline{ -\frac{3}{2} < -2y < - \frac{4}{3} \hspace{1cm} } \,\,+ \downarrow

-\frac{3}{4} < \text{A} < -\frac{1}{3}

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O título da mensagem deve refletir o assunto do qual se trata o problema. Seria interessante que você o editasse para "Sistema de inequações", isso ajuda a manter o fórum organizado.

por RMelo Dom 10 Fev 2019, 14:30

Mateus Meireles escreveu:Uma ideia mais tranquila é manipular as inequações, veja

i) \quad \frac{1}{4} < x < \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4} < 3x < 1

ii) \quad \frac{2}{3} < y < \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{3} < 2y < \frac{3}{2}

Agora basta multiplicar a segunda inequação por -1 , mas lembrando-se que devemos tomar cuidado com os sinais dela

\frac{4}{3} < 2y < \frac{3}{2} \quad \times \, ( -1)

- \frac{4}{3} > -2y > -\frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{3}{2} < -2y < - \frac{4}{3}

Por fim, é suficiente somarmos,

\hspace{1cm} \frac{3}{4} < 3x < 1

\underline{ -\frac{3}{2} < -2y < - \frac{4}{3} \hspace{1cm} } \,\,+ \downarrow

-\frac{3}{4} < \text{A} < -\frac{1}{3}

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O título da mensagem deve refletir o assunto do qual se trata o problema. Seria interessante que você o editasse para "Sistema de inequações", isso ajuda a manter o fórum organizado.

É mesmo, é melhor que os 2 desenvolvimentos, o meu e o do autor do livro.

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