Equação trigonometrica

Calcule
Tg(x+pi/3)+Cotg(pi/2-3x)=0

*Restrições: 

(i) x+pi/3 ≠ pi/2 + kpi --> x≠pi/6 + kpi

(ii) pi/2 -3x ≠ 0 + kpi --> x≠pi/6 - kpi/3 ; note que: (i) C (ii)

** Tg(x+pi/3)+Cotg(pi/2-3x)=0
    
     sen(x+pi/3) + cos(pi/2 -3x) = 0
     cos(x+pi/3)     sen(pi/2 -3x)

     sen(x+pi/3) + sen3x = 0
     cos(x+pi/3)     cos3x

     sen(x+pi/3)*cos3x + sen3x*cos(x+pi/3) = 0
                      cos(x+pi/3)*cos3x

     sen(x+pi/3 +3x) = 0

     sen(4x + pi/3) = 0

.: 4x + pi/3 = 0 + kpi ---> x = -pi/12 + kpi/4 (iii)

***Agora basta fazermos a intercessão entre (ii) e (iii), o que é de fácil visualização  se desenhar o círculo trigonométrico.

(ii) Ո (iii) :

S = {x ∈ ℝ / x = 5pi/12 + kpi/2 U 2pi/3 + kpi; com k ∈ ℤ}


****Observe o desenho de (ii) Ո (iii): 

Tg(x+pi/3)+Cotg(pi/2-3x)=0




1) Tg(x+pi/3) = 0 e Cotg(pi/2-3x) = 0 


para esse caso, a solução é x = 2pi/3 e x = -pi/3




2) Tg(x + pi/3) = - cotg(pi/2 -3x)


aqui a solução é -pi/12, 5pi/12, 11pi/12, 17pi/12




Todos os resultados considerando o intervalo [-2pi,  2pi]




1) basta achar o valor de x que faça as duas expressões serem nulas




2)iguale as expressões as tangentes dos arcos "múltiplos" de 45º e veja em quais casos a soma dos resultados obtidos é nula