(ITA-2005)Módulo

por **abelardo** 15/7/2011, 1:11 am

Determine todos os valores reais de a para os quais a equação $(x-1)^2=\left | x-a \right |$ admita exatamente três soluções distintas.

Sei que $(x-1)^2\geq 0$ $\forall x \in \Re$ . Por definição, $\left | x-a \right |=\left\{\begin{matrix} (x-1)^2\\ -(x-1)^2 \end{matrix}\right.$ . Desenvolvi os dois produtos notáveis e isolei a em cada equações para depois igualar as duas equações..

$x-a=x^2-2x+1$ --> $-a=x^2-3x+1$

$x-a=-x^2+2x-1$ --> $-a=-x^2+x-1$

Igualando $-a=-a \Leftrightarrow x^2-3x+1=-x^2+x-1$ ,

$2x^2-4x+2=0$ e encontrei 1 como única raiz para a equação. Substituindo encontro 1 para o valor de a...

Sei que está errado e não tenho gabarito.. alguém socorre?

por **luiseduardo** 15/7/2011, 2:12 am

Olá Abelardo,

É melhor vc tentar fazer os gráficos e ver aonde ocorre tangencia para x < a e x > a. Essa questão é facilmente resolvida dessa forma:

(x - 1)² = |x - a|

Delta = 0 ---> para ocorrer a tangência

i) x² - 2x + 1 = x - a

x² - 3x + (1 + a) = 0

Delta: 9 - 4 - 4a = 0

5 - 4a = 0
4a = 5
a = 5/4

ii) -x² + 2x - 1 = x - a

-x² + x - 1 + a = 0

Delta: 1 - 4*-1(-1 + a) = 0

1 - 4 + 4a = 0
4a = 3
a = 3/4

iii) É exatamente a que vc fez a = 1 e x = 1

Os valores de a são {5/4,3/4,1}

por **Matheus Basílio** 15/7/2011, 2:41 am

Já tava digitando a resposta em LaTeX, ai vi que você respondeu, mas é isso ai mesmo que eu encontrei.

por **luiseduardo** 15/7/2011, 2:48 am

Posta aí matheus, nao tem problema nenhum

por **abelardo** 1/9/2011, 12:13 am

Desculpe-me Luiseduardo por desenterrar essa questão, mas porque você disse que para ocorrer tangência, delta deve ser igual a zero?

por **hygorvv** 1/9/2011, 12:17 am

A interseção da parábola com equação modular ocorrer em apenas um ponto (uma solução).
Espero que te ajude e seja isso.

por **abelardo** 1/9/2011, 11:36 am

Agora sim pude entender. Essa equação modular é bem simples e sua representação no plano cartesiano são duas retas que ''partem'' do eixo das abscissas. A única forma de termos três soluções para igualdade dada é a parábola tocar também o eixo das abscissas e delta, então, será igual a zero. Obrigado Hygorvv, Matheus Basílio e Luis Eduardo.