Produtos Notáveis e Fatoração

por henriquecdb Seg 10 Dez 2018, 17:10

(ACM 2018) Quantos números inteiros não negativos podem ser escritos na forma abaixo onde a_{i}\in \left \{ -1,0,1 \right \} para 0≤i≤7?

a_{7}.3^{7}+a_{6}.3^{6}+a_{5}.3^{5}+a_{4}.3^{4}+a_{3}.3^{3}+a_{2}.3^{2}+a_{1}.3^{1}+a_{0}.3^{0}

a) 512
b) 729
c) 1094
d) 3281
e) 59048

por **Mateus Meireles** Seg 10 Dez 2018, 19:51

Olá, Henrique

O total de número inteiros é 3^8 , pois há 3 opções para cada a_i

Sempre quem irá mandar no sinal do número formado será o sinal da maior potência de 3 que possua a_i \neq 0

Para a_7 = -1 , por exemplo, todos os números formados variando a_6, a_5,.., a_0 serão negativos, há 3^7 números

Para a_7 = 0 e a_6 = -1 , 3^6

...
...

O último caso é quando a_7 = a_6 = a_5 = a_4 = a_3= a_2 = a_1 = 0 e a_0 = -1 , há apenas um número

A resposta é 3^8 - 3^7 - 3^6 - \ ... \ - 3^1 - 3^0 = 3281

por **Mateus Meireles** Seg 10 Dez 2018, 19:55

Outra forma seria percebendo que para cada número positivo gerado há um negativo simétrico

\frac{3^8 - 1}{2} = 3280 , acrescentando novamente o 0, 3281