Triângulo e Incentro

por W_Yuri Qua 05 Dez 2018, 12:01

Boa tarde, caros amigos!

Preciso de ajuda nessa questão:
Em um triângulo ABC de incentro I, o prolongamento da bissetriz interna relativa ao ângulo A intercepta o círculo circunscrito ao triângulo em um ponto D. Sabendo-se que BD=3cm, calcular DI.

Já agradeço a quem ajudar!

Gabarito é 3:

por nishio Sex 07 Dez 2018, 00:12

Observe a figura:
O ângulo b = α + γ , pois b é externo ao triângulo ABI.
Logo, o triângulo BID é isósceles. Daí, BD = DI
O ângulo C "enxerga" o mesmo arco BD que o ângulo alfa em A.
Como AD é bissetriz, o arco CD tem a mesma medida do arco BD. Então, o ângulo B do triângulo BDC também mede alfa.
Com isso, o triângulo BDC é isósceles.
Daí, BD = CD.
Então, BD = CD = DI.
Se BD = 3, logo DI também é igual a 3.

Espero ter ajudado!