Média Ponderada

Para participar da Olimpíada de Ciências de uma escola da capital, um estudante deve atingir média ponderada das notas das disciplinas exigidas igual ou superior a 7, seguindo o quadro de pesos abaixo.

                                                                     Disciplina   -  Peso
                                                                    Matemática -    4
                                                                       Física       -    3
                                                                     Química     -    2
                                                                     Biologia      -   1

Um estudante atingiu 6,8 de média, o que o motivou a pedir revisão de correção de suas provas nas quatro disciplinas. Após a revisão da correção, o estudante teve suas notas alteradas, com os seguintes acréscimos: 2 pontos em Matemática; 1 ponto em Física; 2 pontos em Química; 0,5 ponto em Biologia.

Por sua vez, o professor de Biologia argumentou junto ao Comitê organizador que o peso apresentado não valorizava o suficiente sua disciplina. Por isso, o Comitê decidiu alterar os pesos atribuídos às disciplinas, prevalecendo o quadro abaixo demonstrado.

                                                                     Disciplina   -  Peso
                                                                    Matemática -    3
                                                                       Física       -    3
                                                                     Química     -    2
                                                                     Biologia      -   2

Calcule as notas finais de Matemática e de Física. Considere que, após a revisão de suas notas, o estudante passa a ter um total de 9 pontos em Química; 9,5, em Biologia. Além disso, com a mudança dos pesos das disciplinas, a média do estudante foi alterada para 8,5

Boa noite!

Somando-se os pesos das matérias obtemos:
4+3+2+1=10

Ou seja, sendo sua média 6,8 o total de 'pontos' obtidos foi de:
6,8 * 10 = 68

Após a revisão ganhou alguns pontos para as matérias, e, mudando-se os pesos ficou com nova média, 8,5.
Somando-se os novos pesos: 3+3+2+2=10

Ou seja, agora tem um total de:
8,5 * 10 = 85

Duas matérias sabemos as notas (Química e Biologia)
Química = 9 e Biologia = 9,5 (após ter ganho os pontos).

Então, chamando-se as notas das matérias de:
M, F, Q e B, respectivamente, temos:

1) antes da mudança:
68 pontos
Q = 9 - 2 (ganhou 2 pontos) = 7 pontos
B = 9,5 - 0,5 (ganhou 0,5 ponto) = 9 pontos

68 - 2 * 7 - 1 * 9 = 68 - 14 - 9 = 68 - 23 = 45 pontos (isso antes de ganhar os pontos extras).
Portanto:
4M + 3F = 45

2) Após a mudança:
85 pontos
Q = 9
B = 9,5

85 - 2 * 9 - 2 * 9,5 = 85 - 18 - 19 = 85 - 37 = 48 pontos (isso com as novas notas)
Portanto:
3(M+2) + 3(F+1) = 48
3M+6 + 3F+3=48
3M+3F=48-9
3M+3F=39

Temos agora um sistema linear:
4M + 3F = 45
3M + 3F = 39

Subtraindo a primeira da segunda equação:
M = 6

Substituindo em qualquer uma das duas:
F = 7

Conferindo:

M = 6
F = 7
Q = 7
B = 9

Média inicial = (4*6 + 3*7 + 2*7 + 1*9) / 10 = (24+21+14+9)/10 = 68/10 = 6,8 (OK)

Novas notas:
M = 6 + 2 = 8
F = 7 + 1 = 8
Q = 7 + 2 = 9
B = 9 + 0,5 = 9,5

Média final = (3*8 + 3*8 + 2*9 + 2*9,5) / 10 = (24 + 24 + 18 + 19) / 10 = 85 / 10 = 85

Espero ter ajudado!