(Morgado) - Divisão de grupos

por Victor Luz Ter 30 Out 2018, 10:20

De quantos modos podemos dividir 12 pessoas em seis grupos de 2?

gabarito:

por **Elcioschin** Ter 30 Out 2018, 10:34

Escolhendo o 1º grupo de 2 ---> C(12, 2) = 66 ---> Restam 10 pessoas
Escolhendo o 2º grupo de 2 ---> C(10, 2) = 45 ---> Restam 8 pessoas
Escolhendo o 3º grupo de 2 ---> C(8, 2) = 28 ---> Restam 6 pessoas
...................................................................................................

66.45.28 = 83 160 ---> Já superou o gabarito !!!

Tens certeza do gabarito?

por **Mateus Meireles** Ter 30 Out 2018, 10:35

Olá, novamente

Há duas boas ideias para esse problema, deixarei uma agora e talvez outra mais tarde.

Forme uma fila com os doze elementos e tome como grupos os formados pelos dois primeiros, pelos dois seguintes, etc etc. O número de filas é 12!, mas cada divisão em grupos corresponde a várias filas, que são obtidas quando trocamos os grupos entre si (6! modos), ou quando trocamos a posição dos elementos em cada grupo (2!⁶ modos)

A resposta é 12! / 6! x (2!⁶) = 10.395

Abraço.

por **Mateus Meireles** Ter 30 Out 2018, 10:41

A outra solução é a que o mestre Élcio apresentou, mas devemos dividir a multiplicação por 6!, pois cada divisão foi contada 6! vezes.

Por exemplo, a divisão em que são divididos os seguintes grupos:

1,2
3,4
5,6
7,8
9,10
11,12

também é contada, de forma igual, quando fazemos:

9,10
11,12
3,4
1,2
7,8
5,6

(Só estamos trocando a ordem em que os grupos são selecionados, por isso devemos dividir por 6!)

Realizando as escolhas/produtos..

A resposta é \frac{C_{12}^2 \cdot C_{10}^2 \cdot C_{8}^2 \cdot \ ... \ \cdot C_2^2}{6!} = 10.395

por Victor Luz Ter 30 Out 2018, 10:54

Eu estava enfrentando o mesmo problema que o Mestre Elcio, superando o gabarito em todas as vezes que refazia o problema. Muito obrigado pela correção Mateus!

Abraços