(ITA) Binômio de Newton

por Luana Skywalker Ter 05 Jul 2011, 22:18

Oi!

ITA) Determine o coeficiente de x^4 no desenvolvimento de (1 + x + x²)^9.

Resolução:
(ITA) Binômio de Newton Itab

Só não entendi pq tem tantos x^4, eu pensava q em um Binômio só havia um x^4, pois os expoentes dos "x" não vão diminuindo até x^0? confused

por Quasar Ter 05 Jul 2011, 23:46

No desenvolvimento de (x + a) ^n isso acontece sim, mas no caso deste problema, temos um trinômio ou, visto de outra forma, um binômio em q as duas parcelas dependem da mesma variável x. Isso faz com que tenhamos, dentro de um único termo, um produto de potências de x, como, por ex, x^5 . x^2 (o q resulta num termo de grau 7).

por Luana Skywalker Qua 06 Jul 2011, 19:47

Entendi quando é um trinômio.

Mas, num binômio (x+a)^n o nem tem que ir diminuindo o seu expoente até chegar a 0 ?

Obrigada Smile

por Igor Bragaia Qua 27 Mar 2013, 20:13

Se desprende do binômio de Newton pra expansão multinomial. Tem a fórmula $\sum ^{a+b+...+k}_{a,b,k\in \mathbb{N}}\frac{n!}{a!b!...k!}(a_{1})^a(a_{2})^b ...(a_{k})^r$ que resolve muito mais facilmente exercícios de desenvolvimento multinomial. Neste exercício:
Determine o coeficiente de x^4 no desenvolvimento de (1 + x + x²)^9
$\sum ^{a+b+c=9}_{a,b,c\in \mathbb{N}}\frac{n!}{a!b!c!}1^ax^b^+^2^c$
note que:
b+2c=4
a+b+c=9
Soluções naturais:
I) b=0, c=2, a=7
II) b=2, c=1, a=6
III) b=4, c=0, a=5

Então o coeficiente de x^4 será:
I) 9!/2!7!= 36
II) 9!/6!2!=252
III) 9!5!4!=126

Somando I, II e II, temos 414, que é coeficiente de x^4.