QUESTÃO DE FUNÇÃO COMPOSTA

Se g(f(x))=x²+13x+42 e g(x)=x²-x, determine o termo independente de "x" na expressão de f(x), sabendo que f(x) é um polinômio com coeficientes positivos.

g(x) = x² - x

vamos substituir f(x) em g(x) para formarmos a gof 

g(f(x)) = (f(x))² - f(x)
 
sabemos o valor da gof(dada no enunciado), então vamos substituí-la também, lembrando que f(x) tem coeficientes positivos e de primeiro grau (elevado ao quadrado deu grau 2), portanto f(x) = (mx + n)

x² + 13x + 42 = (mx + n)² - (mx + n)
x² + 13x + 42 = m²x² + 2mnx + n² - mx - n
x² + 13x + 42 = m²x² + (2mn + m)x + n² - n

observe que o termo independente de ambos os lados deve ser igual, portanto

n² - n = 42
n² -n - 42 = 0, sendo n = -6 ou n = 7, em que 7 é nossa resposta, pois os coeficientes de f(x) devem ser positivos.

Você afirmou que f(x) é de primeiro grau, mas não entendi o porquê.

Perceba que g(x) = x² - x
Se f(x) for de primeiro grau, quando elevada ao quadrado e diminuída de uma de primeiro grau, terá ainda segundo grau(que é oq queremos)


Imagine se f(x) fosse de segundo, terceiro,... n grau /n>1
Quando elevado ao quadrado, sempre o resultado será uma função de grau maior que dois(que não queremos).

Portanto f(x) tem que ter primeiro grau

Ah sim, agora ficou claro. Muito obrigado!