Função composta iezzi

por Lucas Figueira Sex 11 maio 2018, 10:00

(ITA-77) Considere a função f(x)=|x²-1| definida em R. Se f°f representa a função composta de f com f, então:

a) (f°f)(x)=x|x²-1|, para todo x real
b) não existe numero real y, tal que (f°f)(y)=y
c) fºf é uma função injetora
d) (f°f)(x)=0 apenas para dois valores de x
e) nenhuma das anteriores

Gabarito:

por **Tess** Sex 11 maio 2018, 14:22

a)
f(x)=|x²-1| -> (f°f)(x)=||x²-1|²-1| (I)

(f°f)(x)=x|x²-1| (II)
I=II

x|x²-1|=||x²-1|²-1| ; absurdo pois x=0 não gera uma equação

b)

(f°f)(x)=||x²-1|²-1| -> y=||y²-1|²-1|

para y=1 temos 1=||1²-1|²-1|=1

então b é falsa

c) sabemos que é falsa devido aos módulos. Por exemplo, (f°f)(1)=(f°f)(-1)

d) (f°f)(x)=||x²-1|²-1|

(f°f)(x)=0 quando |x²-1|²=1

então x²-1=1 (I) ou x²-1=-1 (II)

x²-1=1
x²=2 (2 valores de x)

x²-1=-1 -> x²=0 (1 valor de x)

portanto, d é falsa, restando e como verdadeira

por Xm280 Qua 10 Out 2018, 13:34

Alguém pode me ajudar a encontrar o meu erro? Minha dúvida está no item d:

Desenvolvendo fºf(x):

fºf(x) = f(f(x)) = | (|x²-1|)² - 1|

fºf(x) = |x²-2x+1-1|

fºf(x) = |x*(x-2)| (lembrando da propriedade |x|*|y|=|xy|)

fºf(x) = |x|*|x-2|

d) fºf(x)=0

|x|*|x-2| = 0

A partir daqui eu encontro exatamente dois valores (0 e 2), o que torna o item verdadeiro.
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