Inequacao modular ESPCEX

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Inequacao modular ESPCEX

Mensagem por Nic.cm em Dom Abr 15 2018, 06:17

O conjunto solução da inequação |x² + x + 1| ≤ |x² + 2x - 3|        *edit- o sinal antes do 3 é negativo

a) {x ∈ ℝ| -1/2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4}

b) {x ∈ ℝ| -2 ≤ x ≤ 1/2 ou x ≥ 4}

c) {x ∈ ℝ| x < -1/2 ou 2 ≤ x ≤ 4}

d) {x ∈ ℝ| x ≤ -2 ou 1/2 ≤ x ≤ 4}

e) {x ∈ ℝ| -1/2 ≤ x ≤ 4}

Gabarito: Letra b)


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Re: Inequacao modular ESPCEX

Mensagem por Giovana Martins em Dom Abr 15 2018, 18:00

Os discriminantes de f(x)=x²+x+1 e de g(x)=x²+2x+3 são menores que zero, logo, f(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ bem como g(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ. Desse modo, |x²+x+1|=x²+x+1 e |x²+2x+3|=x²+2x+3. Sendo assim:

|x² + x + 1| ≤ |x² + 2x + 3| ⇔ x² + x + 1 ≤ x² + 2x + 3

 x ≥ -2

Ao meu ver há algum erro no enunciado.


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Re: Inequacao modular ESPCEX

Mensagem por Nic.cm em Dom Abr 15 2018, 18:07

Giovana Martins escreveu:
Os discriminantes de f(x)=x²+x+1 e de g(x)=x²+2x+3 são menores que zero, logo, f(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ bem como g(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ. Desse modo, |x²+x+1|=x²+x+1 e |x²+2x+3|=x²+2x+3. Sendo assim:

|x² + x + 1| ≤ |x² + 2x + 3| ⇔ x² + x + 1 ≤ x² + 2x + 3

 x ≥ 1/2

Ao meu ver há algum erro no enunciado.
 Obrigada pela resposta, Giovana. Estou analisando aqui...

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Re: Inequacao modular ESPCEX

Mensagem por Giovana Martins em Dom Abr 15 2018, 18:18

De nada. Fiz um ajuste (em vermelho).
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Re: Inequacao modular ESPCEX

Mensagem por Nic.cm em Dom Abr 15 2018, 18:24

Giovana Martins escreveu:
Os discriminantes de f(x)=x²+x+1 e de g(x)=x²+2x+3 são menores que zero, logo, f(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ bem como g(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ. Desse modo, |x²+x+1|=x²+x+1 e |x²+2x+3|=x²+2x+3. Sendo assim:

|x² + x + 1| ≤ |x² + 2x + 3| ⇔ x² + x + 1 ≤ x² + 2x + 3

 x ≥ -2

Ao meu ver há algum erro no enunciado.
retirando apenas o lx²+x+1l do módulo, o resultado bate certinho com o gabarito, mas realmente... se o f(x) é maior do que 0 e pode ser retirado do módulo, o mesmo deveria acontecer com o g(x)... to confusa D:

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Re: Inequacao modular ESPCEX

Mensagem por Nic.cm em Dom Abr 15 2018, 18:28

Ahhh! Agora que percebi que o enunciado está com um sinalzinho trocado. Valeu mesmo pela ajuda!! Vou corrigir aqui e fará sentido.

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Re: Inequacao modular ESPCEX

Mensagem por Giovana Martins em Dom Abr 15 2018, 18:44

Agora sim vai dar certo : ). Vamos lá: agora as coisas mudam um pouco, pois g(x) já não é maior que 0 para todo x pertencente aos reais. Bom, podemos aplicar uma propriedade das desigualdades modulares. Quando |x| > a, isso implica em x < -a ou x > a. Daí temos a seguinte situação:

|x² + 2x - 3| ≥ x² + x +1

x² + 2x - 3 ≤ -(x² + x +1) => [-2,1/2] (1)

ou

x² + 2x - 3 ≥ x² + x +1 => [4,+∞[ (2)

Da união entre (1) e (2): [-2,1/2]U[4,+∞[

que é a nossa resposta.
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Re: Inequacao modular ESPCEX

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