Inequacao modular ESPCEX
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Inequacao modular ESPCEX
por Nic.cm Dom 15 Abr 2018, 06:17
O conjunto solução da inequação |x² + x + 1| ≤ |x² + 2x - 3| *edit- o sinal antes do 3 é negativo
a) {x ∈ ℝ| -1/2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4}
b) {x ∈ ℝ| -2 ≤ x ≤ 1/2 ou x ≥ 4}
c) {x ∈ ℝ| x < -1/2 ou 2 ≤ x ≤ 4}
d) {x ∈ ℝ| x ≤ -2 ou 1/2 ≤ x ≤ 4}
e) {x ∈ ℝ| -1/2 ≤ x ≤ 4}
Gabarito: Letra b)
a) {x ∈ ℝ| -1/2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4}
b) {x ∈ ℝ| -2 ≤ x ≤ 1/2 ou x ≥ 4}
c) {x ∈ ℝ| x < -1/2 ou 2 ≤ x ≤ 4}
d) {x ∈ ℝ| x ≤ -2 ou 1/2 ≤ x ≤ 4}
e) {x ∈ ℝ| -1/2 ≤ x ≤ 4}
Gabarito: Letra b)
Última edição por Nic.cm em Dom 15 Abr 2018, 18:29, editado 1 vez(es)
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Re: Inequacao modular ESPCEX
por Giovana Martins Dom 15 Abr 2018, 18:00
Os discriminantes de f(x)=x²+x+1 e de g(x)=x²+2x+3 são menores que zero, logo, f(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ bem como g(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ. Desse modo, |x²+x+1|=x²+x+1 e |x²+2x+3|=x²+2x+3. Sendo assim:
|x² + x + 1| ≤ |x² + 2x + 3| ⇔ x² + x + 1 ≤ x² + 2x + 3
∴ x ≥ -2
Ao meu ver há algum erro no enunciado.
|x² + x + 1| ≤ |x² + 2x + 3| ⇔ x² + x + 1 ≤ x² + 2x + 3
∴ x ≥ -2
Ao meu ver há algum erro no enunciado.
Última edição por Giovana Martins em Dom 15 Abr 2018, 18:18, editado 2 vez(es)
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Re: Inequacao modular ESPCEX
por Nic.cm Dom 15 Abr 2018, 18:07
Obrigada pela resposta, Giovana. Estou analisando aqui...Giovana Martins escreveu:Os discriminantes de f(x)=x²+x+1 e de g(x)=x²+2x+3 são menores que zero, logo, f(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ bem como g(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ. Desse modo, |x²+x+1|=x²+x+1 e |x²+2x+3|=x²+2x+3. Sendo assim:
|x² + x + 1| ≤ |x² + 2x + 3| ⇔ x² + x + 1 ≤ x² + 2x + 3
∴ x ≥ 1/2
Ao meu ver há algum erro no enunciado.
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Re: Inequacao modular ESPCEX
por Giovana Martins Dom 15 Abr 2018, 18:18
De nada. Fiz um ajuste (em vermelho).
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Re: Inequacao modular ESPCEX
por Nic.cm Dom 15 Abr 2018, 18:24
retirando apenas o lx²+x+1l do módulo, o resultado bate certinho com o gabarito, mas realmente... se o f(x) é maior do que 0 e pode ser retirado do módulo, o mesmo deveria acontecer com o g(x)... to confusa D:Giovana Martins escreveu:Os discriminantes de f(x)=x²+x+1 e de g(x)=x²+2x+3 são menores que zero, logo, f(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ bem como g(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ. Desse modo, |x²+x+1|=x²+x+1 e |x²+2x+3|=x²+2x+3. Sendo assim:
|x² + x + 1| ≤ |x² + 2x + 3| ⇔ x² + x + 1 ≤ x² + 2x + 3
∴ x ≥ -2
Ao meu ver há algum erro no enunciado.
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Re: Inequacao modular ESPCEX
por Nic.cm Dom 15 Abr 2018, 18:28
Ahhh! Agora que percebi que o enunciado está com um sinalzinho trocado. Valeu mesmo pela ajuda!! Vou corrigir aqui e fará sentido.
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Re: Inequacao modular ESPCEX
por Giovana Martins Dom 15 Abr 2018, 18:44
Agora sim vai dar certo : ). Vamos lá: agora as coisas mudam um pouco, pois g(x) já não é maior que 0 para todo x pertencente aos reais. Bom, podemos aplicar uma propriedade das desigualdades modulares. Quando |x| > a, isso implica em x < -a ou x > a. Daí temos a seguinte situação:
|x² + 2x - 3| ≥ x² + x +1
x² + 2x - 3 ≤ -(x² + x +1) => [-2,1/2] (1)
ou
x² + 2x - 3 ≥ x² + x +1 => [4,+∞[ (2)
Da união entre (1) e (2): [-2,1/2]U[4,+∞[
que é a nossa resposta.
|x² + 2x - 3| ≥ x² + x +1
x² + 2x - 3 ≤ -(x² + x +1) => [-2,1/2] (1)
ou
x² + 2x - 3 ≥ x² + x +1 => [4,+∞[ (2)
Da união entre (1) e (2): [-2,1/2]U[4,+∞[
que é a nossa resposta.
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