ESPCEX - Função modular

por Jvictors021 Qui 31 Mar 2022, 03:31

O conjunto-imagem da função real definida por f(x) = -1 +|x+1| -2|x| + |x-1| é:
A) {-1,1}
B) [-1,1]
C) {-1, 0, 1}
D) ]-1,1[

Gabarito B

Pessoal acredito que a resolução gráfica nesse caso seja mais inteligente, coloquei no Geogebra e expressão e saiu tranquilo o gráfico da função, a questão é: como posso chegar nesse gráfico ?
Pensei primeiramente em desenhar o gráfico de cada membro com o módulo e achar a intersecção deles para achar o gráfico resultante ou algo do tipo, mas eu não sei o processo para chegar no gráfico resultante

Como consigo chegar no gráfico vermelho a partir das funções azul e verde?

por **qedpetrich** Qui 31 Mar 2022, 09:32

Olá João;

Não é o que você pediu, mas eis a solução algébrica:

Se x < -1, então:

f(x) = -1-x-1+2x-x+1
f(x) = -1

Se -1 < x < 0, então:

f(x) = -1+x+1+2x-x+1
f(x) = 2x + 1

Aplicando os limites do intervalo, conclui-se que f(x) varia para este intervalo —> Im = [-1,1]

Se 0 < x < 1, então:

f(x) = -1+x+1-2x-x+1
f(x) = -2x + 1

Aplicando a mesma ideia, tem-se —> Im = [-1,1]

Por fim, se x > 1, então:

f(x) = -1+x+1-2x+x-1
f(x) = -1

Dessa forma, o conjunto imagem é a letra B. Estou pelo celular, se alguma passagem não ficou clara pontue. Smile

por Jvictors021 Qui 31 Mar 2022, 15:12

Muito boa a resolução também, amigo!

por **qedpetrich** Qui 31 Mar 2022, 15:35

Você poderia representar cada função separadamente, mas eu particularmente acho mais trabalhoso do que aplicar a própria definição modular em seus respectivos intervalos.

ESPCEX - Função modular 8HSZDQT9JkV7IAAAAASUVORK5CYII=

ESPCEX - Função modular 8HSZDQT9JkV7IAAAAASUVORK5CYII=

A partir do gráfico analisar os intervalos separadamente e fazer as devidas transladações. Imagine na hora da prova, você desenhando 4 funções, tudo bem que elas são bem simples, são apenas retas, o esboço é relativamente fácil, mas sair aplicando suas definições vai te garantir um tempo precioso.

por Jvictors021 Qui 31 Mar 2022, 15:52

qedpetrich escreveu:Você poderia representar cada função separadamente, mas eu particularmente acho mais trabalhoso do que aplicar a própria definição modular em seus respectivos intervalos.

A partir do gráfico analisar os intervalos separadamente e fazer as devidas transladações. Imagine na hora da prova, você desenhando 4 funções, tudo bem que elas são bem simples, são apenas retas, o esboço é relativamente fácil, mas sair aplicando suas definições vai te garantir um tempo precioso.

Com certeza, a resolução algébrica na maioria casos é mais fácil! Na hora lembrei de uma questão do ITA, que havia resolução gráfica, que eu fiz e depois me bateu a dúvida de como montar o "gráfico resultante".

As duas formas de fazer apresentadas por você me ajudaram demais!