sistema de equações

por medeuvou Qui 01 Mar 2018, 07:18

Em uma turma de 30 alunos, meninas e meninos, os meninos se cumprimentam com um aperto e mão, enquanto as meninas se cumprimentam com um beijo. Quando o cumprimento é entre uma menina e um menino o cumprimento também se dá com um beijo. Se todos os dias 390 beijos são dados, quantos meninos estudam nessa turma?

a) 10
b) 14
c) 19
d) 20
e) 24

PS: Faço por sistema de duas equações, em que x=número de meninas e y=número de meninos, dessa forma:
x+y=30
x.y+x.x=390
mas só dá 13 meninos.

por Jonatha lobo Qui 01 Mar 2018, 22:56

Fiz por análise combinatória:

C30,2 = 435
( combinação total dos apertos de mãos e beijos entre os meninos e meninas)

435 - 390= 45
(Diferença entre o total e os beijos = aperto de mão )

Como entre os meninos só há aperto de mão , temos:

Cx,2=45 (sendo x a quantidade de meninos)

X!/[(x-2)!2!]=45

X(x-1)=90

X=10 (já que o outro valor é negativo)

por **Elcioschin** Qui 01 Mar 2018, 23:26

Outro modo:

Sejam M meninas e H = 30 - M meninos

Total de beijos entre meninos e meninas = M.(30 - M) = 30.M - M²
Total de beijos entre meninas = M.(M - 1)/2 = M²/2 - M/2

(30.M - M²) + (M²/2 - M/2) = 390 ---> *2

60.M - 2.M² + M² - M = 780 ---> M² - 59.M + 780 = 0

Raízes: M = 39 (não serve pois é maior que 30) e M = 20

H = 30 - M ---> H = 30 - 20 ---> H = 10