Reta tangente comum em uma curva

por **Eduardo Sicale** Seg 26 Fev 2018, 15:28

Encontre os dois pontos sobre a curva y = x^4 - 2x² - x que têm uma reta tangente comum.

Resposta: (1,-2) e (-1,0)

Obrigado !

por **Euclides** Seg 26 Fev 2018, 17:12

Olá Eduardo,

sabemos que f'(x_0) fornece a inclinação da tangente no ponto. Devemos encontrar então ao menos dois valores de x_0 que forneçam o mesmo valor para f'(x_0).

$\\f'(x)=4x^3-4x-1\\f'(x_0)=m\\m=4x_0^3-4x_0-1\\\\para\;\begin{cases}x-0\to m=-1\\x=1\to m=-1\\x=-1\to\;m=-1 \end{cases}$

encontramos três pontos cujas tangentes têm a mesma inclinação, tal que m=-1. Resta verificar se há um par deles que pertencem à mesma tangente

o primeiro par com x=0 é de uma tangente que passa por (0,0) -> y=-x e assim b=0
os outros dois pares deverão satisfazer a mesma reta

$\\\begin{cases}y=-x+b\\x=1,\;y=-2\\x=-1,y=0\end{cases}\;\Rightarrow b=-1,\;\;\text{a tangente \'e }y=-x-1$

então os pontos são (-1,0) e (1,-2)

Reta tangente comum em uma curva Fig_2