ângulos no triângulo

por murilottt Seg 29 Jan 2018, 15:49

Em um triângulo retângulo, a altura e a mediana são relativas à hipotenusa e formam um ângulo de 20°. Determine o maior dos ângulos agudos.

por Skyandee Seg 29 Jan 2018, 20:20

Vamos começar da parte mais simples...

20^{\circ}+\gamma =90^{\circ}\therefore \boxed{\gamma=70^{\circ}}

Agora note que ε e γ enxergam o mesmo arco... como γ é o ângulo central e ε pertence a um ponto contido na circunferência, podemos afirmar que:

\varepsilon=\frac{\gamma}{2} \therefore \boxed{\varepsilon=35^{\circ}}

... Logo:

\beta +90^{\circ}+\varepsilon =180^{\circ} \Leftrightarrow \beta+125^{\circ} = 180^{\circ}\therefore \boxed{\beta= 55^{\circ}}

por **Elcioschin** Seg 29 Jan 2018, 21:47

Outro modo de enxergar:

Seja ABC o triângulo sendo A o vértice o ângulo reto, B o do ângulo β e C o vértice direito.
Seja M o ponto de encontro da mediana com BC e H o pé da altura

AM = BM = CM = raio do semi-círculo circunscrito

BÂH = ε = 90º - β

Triângulo MAC é isósceles (AM = CM), logo MÂC = M^CA = ε = 90º - β

BÂH + HÂM + MÂC = 90º ---> ( 90º - β) + 20º + (90º - β) = 90º ---> β = 55º

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