Distância do centro de uma esfera inscrita

por Victor Luz Qui 25 Jan 2018, 13:06

Determine a distância do centro de uma esfera inscrita em um cubo a um dos vértices do cubo, sabendo que a superfície da esfera mede 54,76∏ cm².

Gabarito: √(41,07) cm

por Skyandee Qui 25 Jan 2018, 18:23

Vamos trabalhar com as unidades em centímetro mesmo...

Chamaremos de 'r' o raio da esfera e 'd' a distância procurada. Assim:

S_{esf.}=4\pi r^2 \Leftrightarrow 54,76\pi=4\pi r^2 \Leftrightarrow \boxed{r^2=13,69}

Distância do centro de uma esfera inscrita G1YmaPP

Espero que a imagem não tenha ficado confusa... enfim, podemos concluir que a aresta l do cubo é o dobro do raio da esfera inscrita. Assim:

\\d^2=\left (\frac{l\sqrt2}{2} \right )^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2 \Leftrightarrow d^2=\left (\frac{2\sqrt2r}{2} \right )^2+r^2 \Leftrightarrow d^2=2r^2+r^2 \Leftrightarrow \\\\\\\\ \Leftrightarrow d^2=3r^2 \Leftrightarrow d^2=3(13,69) \Leftrightarrow d^2=41,07 \therefore \boxed {d=\sqrt{41,07}}

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