(UFRN-96) Função Composta

por Victor Luz Sex 05 Jan 2018, 09:04

Considere a função real f(x)=ax+b/cx-a, definida para todo x≠a/c, onde a, b e c são constantes não nulas e a²+bc≠0. Encontre (fof)(x) e (fofofo...of)(x). [51 vezes]

gabarito:

por evandronunes Sex 05 Jan 2018, 18:49

Seja f^n = (fofo...of)(x) (n vezes). Temos:

1)f^2= f(f(x)) = \frac{a. \left ( \frac{ax+b}{cx-a} \right ) +b}{c. \left ( \frac{ax+b}{cx-a} \right ) -a} = \frac{\frac{a^2x+ab+bcx-ab}{cx-a}}{\frac{acx+bc-acx+a^2}{cx-a}}=\frac{a^2x+bcx}{a^2+bc}=x.\frac{a^2+bc}{a^2+bc}=x

2) f^3=f(f(f(x)))= \frac{ax+b}{cx-a}

Observe que a partir de agora as composições ficarão alternando. Quando n for par será igual a f^2 e, quando for ímpar, igual a f^3.

Logo, f^{51}=f^3= \frac{ax+b}{cx-a}